Wektory

Definicja wektora

W matematyce, wektor jest obiektem, który posiada zarówno długość (normę), jak i kierunek. Można go przedstawić jako uporządkowaną parę lub krotkę liczb, które są jego współrzędnymi w danym układzie współrzędnych. Wektor w przestrzeni n-wymiarowej zapisywany jest zazwyczaj jako

\[\vec{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n)\]

gdzie \( v_1, v_2, \ldots, v_n \) są współrzędnymi wektora. Wektor można interpretować jako strzałkę w przestrzeni, która zaczyna się w punkcie (zwanym początkiem wektora) i kończy w punkcie (zwanym końcem wektora).

Notacja wektorowa

Wektory najczęściej zapisuje się za pomocą pogrubionych liter lub strzałek nad literami. Na przykład:

• \(\mathbf{v}\): pogrubiona litera reprezentująca wektor
• \(\vec{v}\): litera z dachem, używana do oznaczania wektora

Wektory mogą być również przedstawiane za pomocą macierzy, szczególnie w kontekście przestrzeni wektorowych, gdzie zapisuje się je jako kolumny lub wiersze:

\[ \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} \]

w przypadku wektora kolumnowego, lub

\[\vec{v} = \begin{pmatrix}v_1 & v_2 & \cdots & v_n\end{pmatrix}\]

w przypadku wektora wierszowego.

Wektor w przestrzeni 2D i 3D

• Przestrzeń 2D: Wektor w przestrzeni dwuwymiarowej można zapisać jako

\[ \vec{v} = (x, y) \]

gdzie \(x\) i \(y\) są współrzędnymi wektora w płaszczyźnie.

• Przestrzeń 3D: Wektor w przestrzeni trójwymiarowej można zapisać jako

\[ \vec{v} = (x, y, z) \]

gdzie \(x\), \(y\) i \(z\) są współrzędnymi wektora w przestrzeni.

Wektory w wyższych wymiarach są generalizacją tych pojęć i są stosowane w bardziej zaawansowanych dziedzinach matematyki oraz nauk stosowanych.