Rozkład na ułamki proste

Rozkład na ułamki proste to technika stosowana w matematyce do upraszczania wyrażeń wymiernych (stosunków dwóch wielomianów). Celem tej metody jest rozbicie skomplikowanego wyrażenia na sumę prostszych ułamków, które łatwiej całkować lub analizować.

Definicja

Jeżeli mamy wyrażenie wymierne postaci:

\[ \frac{P(x)}{Q(x)} \]

gdzie \( P(x) \) oraz \( Q(x) \) są wielomianami, a stopień \( P(x) \) jest mniejszy niż stopień \( Q(x) \), to możemy wyrazić to wyrażenie jako sumę prostszych ułamków postaci:

\[ \frac{A}{(x - a_1)} + \frac{B}{(x - a_2)} + \ldots + \frac{C}{(x^2 + bx + c)} + \ldots \]

gdzie \( a_1, a_2 \) to miejsca zerowe wielomianu \( Q(x) \), a \( A, B, C \) to stałe, które trzeba wyznaczyć.

Kiedy stosować rozkład na ułamki proste?

Rozkład na ułamki proste stosujemy, gdy mamy do czynienia z funkcją wymierną, którą chcemy zcałkować, zróżniczkować lub uprościć. Szczególnie jest on użyteczny w przypadku całkowania funkcji wymiernych.

Kroki rozkładu na ułamki proste

  1. Sprawdź stopnie wielomianów: Upewnij się, że stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika. Jeśli nie, wykonaj dzielenie wielomianów, aby uzyskać poprawną formę.

  2. Rozkład mianownika na czynniki: Rozłóż wielomian w mianowniku \( Q(x) \) na czynniki liniowe lub kwadratowe.

  3. Napisz sumę ułamków prostych: Zapisz wyrażenie jako sumę ułamków prostych. Dla każdego czynnika liniowego lub kwadratowego w mianowniku utwórz odpowiedni ułamek.

  4. Wyznacz stałe: Aby wyznaczyć współczynniki \( A, B, C \), przyrównaj oryginalne wyrażenie do sumy ułamków prostych i rozwiąż układ równań.

Przykład

Rozważmy wyrażenie:

\[ \frac{2x + 3}{(x - 1)(x + 2)} \]

  1. Rozkład mianownika: Mianownik jest już rozłożony na czynniki liniowe \( (x - 1) \) oraz \( (x + 2) \).

  2. Suma ułamków prostych: Możemy zapisać wyrażenie jako sumę ułamków:

\[ \frac{2x + 3}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2} \]

  1. Wyznaczanie współczynników: Mnożymy obie strony przez \( (x - 1)(x + 2) \), co daje:

\[ 2x + 3 = A(x + 2) + B(x - 1) \]

Po rozpisaniu i porównaniu współczynników dla \( x \) oraz stałych, otrzymujemy:

\[ A = 1, \quad B = 1 \]

Zatem rozkład wygląda następująco:

\[ \frac{2x + 3}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 2} \]

Zastosowanie w całkowaniu

Jednym z głównych zastosowań rozkładu na ułamki proste jest całkowanie funkcji wymiernych. Rozłożenie skomplikowanego wyrażenia na prostsze ułamki pozwala na łatwiejsze obliczenie całek, ponieważ całki z ułamków prostych są standardowe i można je znaleźć w tabelach.

Na przykład:

\[ \int \frac{2x + 3}{(x - 1)(x + 2)} \, dx = \int \left( \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 2} \right) \, dx \]

Można teraz obliczyć te całki oddzielnie:

\[ \int \frac{1}{x - 1} \, dx + \int \frac{1}{x + 2} \, dx = \ln|x - 1| + \ln|x + 2| + C \]

Podsumowanie

Rozkład na ułamki proste to potężne narzędzie do upraszczania wyrażeń wymiernych. Dzięki niemu możliwe jest rozbicie skomplikowanych wyrażeń na sumy prostych ułamków, co jest szczególnie przydatne przy obliczaniu całek.