Rozwiązanie równania kwadratowego

Równanie kwadratowe to równanie, którego najwyższym stopniem zmiennej jest 2. Ma postać:

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

gdzie \( a \), \( b \) i \( c \) są współczynnikami, a \( a \neq 0 \).

Rozwiązanie równania kwadratowego

Rozwiązanie równania kwadratowego można uzyskać na kilka sposobów, w tym poprzez faktoryzację, użycie wzoru kwadratowego, lub dopełnienie kwadratu.

1. Wzór kwadratowy

Najczęściej stosowaną metodą jest użycie wzoru kwadratowego. Rozwiązania równania kwadratowego można znaleźć za pomocą wzoru:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

gdzie \(\Delta = b^2 - 4ac\) jest tzw. wyróżnikiem równania kwadratowego.

Przykład

Rozważmy równanie:

\[ 2x^2 - 4x - 6 = 0 \]

  1. Oblicz wyróżnik:

    \[ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 16 + 48 = 64 \]

  2. Oblicz pierwiastki:

    \[ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm 8}{4} \]

    \[ x_1 = \frac{4 + 8}{4} = 3 \]

    \[ x_2 = \frac{4 - 8}{4} = -1 \]

    Rozwiązania to \( x = 3 \) i \( x = -1 \).

2. Dopełnienie kwadratu

Dopełnienie kwadratu to metoda, w której równanie kwadratowe przekształca się w postać kwadratu. Można to zrobić w kilku krokach:

  1. Przekształć równanie do postaci:

    \[ ax^2 + bx = -c \]

  2. Podziel obie strony przez \( a \):

    \[ x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} \]

  3. Dopełnij kwadrat na lewej stronie równania i oblicz wartość po prawej stronie:

    \[ x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a} \]

  4. Rozwiąż uzyskane równanie kwadratowe.

3. Faktoryzacja

Jeśli możliwe jest, równanie kwadratowe można rozłożyć na iloczyn dwóch dwumianów.

Przykład

Rozważmy równanie:

\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]

Szukamy takich liczb, które sumują się do -5 i mają iloczyn równy 6. Są to -2 i -3. Dlatego:

\[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0 \]

Stąd rozwiązania to \( x = 2 \) i \( x = 3 \).

Właściwości rozwiązań

  1. Ilość rozwiązań: Równanie kwadratowe może mieć 0, 1 lub 2 rozwiązania w zależności od wartości wyróżnika \(\Delta\).

    • \(\Delta > 0\): Dwa różne rozwiązania.
    • \(\Delta = 0\): Jedno podwójne rozwiązanie.
    • \(\Delta < 0\): Brak rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych (rozwiązania zespolone).

  2. Zastosowanie: Rozwiązania równań kwadratowych są używane w wielu dziedzinach matematyki i nauki, w tym w analizie funkcji, inżynierii, fizyce i ekonomii.