Przesunięcie funkcji wzdłuż osi \( y \)

Przesunięcie funkcji wzdłuż osi \( y \) to jedno z podstawowych przekształceń funkcji liniowej. W ogólnej postaci funkcji liniowej:

\[ f(x) = ax + b \]

współczynnik \( b \) odpowiada za przesunięcie wykresu funkcji wzdłuż osi \( y \).

Co oznacza przesunięcie wzdłuż osi \( y \)?

Jeśli zmienimy wartość \( b \), cały wykres funkcji przesuwa się w górę lub w dół. Konkretnie:

• Jeśli \( b > 0 \), wykres przesuwa się w górę o \( b \) jednostek.
• Jeśli \( b < 0 \), wykres przesuwa się w dół o \( |b| \) jednostek.

Współczynnik \( b \) nie wpływa na nachylenie wykresu, ale jedynie na jego położenie względem osi \( y \).

Własności przesunięcia funkcji

1. Wartość dla \( x = 0 \): Wartość funkcji dla \( x = 0 \) to \( f(0) = b \). Oznacza to, że wykres przecina oś \( y \) w punkcie \( (0, b) \).

2. Wpływ na miejsce zerowe: Przesunięcie wykresu funkcji zmienia miejsce zerowe funkcji. Miejsce zerowe to wartość \( x \), dla której \( f(x) = 0 \). Można je obliczyć z równania:

\[ ax + b = 0 \]

Zmiana \( b \) wpłynie na rozwiązanie tego równania, a więc na pozycję, w której wykres przecina oś \( x \).

Przykład przesunięcia funkcji

Rozważmy funkcję \( f(x) = 2x + 3 \). W tym przypadku:

• Współczynnik kierunkowy \( a = 2 \) — wykres funkcji rośnie.
• Wyraz wolny \( b = 3 \) — wykres jest przesunięty o 3 jednostki w górę.

Dla porównania, funkcja \( g(x) = 2x - 4 \) ma ten sam współczynnik kierunkowy \( a = 2 \), ale wyraz wolny \( b = -4 \). Wykres tej funkcji jest przesunięty o 4 jednostki w dół w stosunku do funkcji \( f(x) \).

Znalezienie miejsca zerowego

Aby znaleźć miejsce zerowe funkcji \( f(x) = 2x + 3 \), rozwiązujemy równanie:

\[ 2x + 3 = 0 \\ 2x = -3 \\ x = -\frac{3}{2} \]

Zatem miejsce zerowe tej funkcji to \( x = -\frac{3}{2} \).

Dla porównania, miejsce zerowe funkcji \( g(x) = 2x - 4 \) obliczamy w następujący sposób:

\[ 2x - 4 = 0 \\ 2x = 4 \\ x = 2 \]

Miejsce zerowe funkcji \( g(x) \) to \( x = 2 \), co pokazuje, że przesunięcie wykresu funkcji wzdłuż osi \( y \) zmienia miejsce zerowe.

Wartość funkcji dla \( x = 0 \)

Dla funkcji \( f(x) = 2x + 3 \):

\[ f(0) = 2 \cdot 0 + 3 = 3 \]

Wartość \( f(0) = 3 \) oznacza, że wykres przecina oś \( y \) w punkcie \( (0, 3) \).

Dla funkcji \( g(x) = 2x - 4 \):

\[ g(0) = 2 \cdot 0 - 4 = -4 \]

Wartość \( g(0) = -4 \) oznacza, że wykres przecina oś \( y \) w punkcie \( (0, -4) \).

Zastosowania przesunięcia funkcji

Przesunięcie funkcji liniowej wzdłuż osi \( y \) jest użyteczne w wielu dziedzinach, takich jak fizyka, ekonomia czy inżynieria. Przykładowo:

• W ekonomii przesunięcie może odpowiadać za różnice w kosztach początkowych produkcji.
• W fizyce przesunięcie może oznaczać zmiany w pozycji początkowej obiektu.

Wykres przesuniętej funkcji

Aby narysować wykres funkcji przesuniętej wzdłuż osi \( y \), można wybrać kilka punktów i zobaczyć, jak zmienia się położenie wykresu.

Dla funkcji \( f(x) = 2x + 3 \):

• Dla \( x = 0 \), \( f(0) = 3 \)
• Dla \( x = 2 \), \( f(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 7 \)

Dla funkcji \( g(x) = 2x - 4 \):

• Dla \( x = 0 \), \( g(0) = -4 \)
• Dla \( x = 2 \), \( g(2) = 2 \cdot 2 - 4 = 0 \)

Punkty te pokazują, że oba wykresy mają takie samo nachylenie, ale są przesunięte względem siebie o 7 jednostek wzdłuż osi \( y \).