Metoda części

Metoda części (inaczej całkowanie przez części) jest techniką używaną do całkowania iloczynu funkcji. Opiera się ona na przekształceniu całki złożonej z iloczynu dwóch funkcji na prostsze wyrażenie, które łatwiej obliczyć.

Wzór na całkowanie przez części

Podstawowy wzór na całkowanie przez części pochodzi z reguły iloczynu dla pochodnych i wygląda następująco:

\[ \int u(x) v'(x) \, dx = u(x) v(x) - \int v(x) u'(x) \, dx \]

gdzie:

• \( u(x) \) to funkcja, którą wybieramy do różniczkowania,
• \( v'(x) \) to funkcja, którą wybieramy do całkowania.

W wyniku uzyskujemy \( u(x) v(x) \) oraz nową całkę \( \int v(x) u'(x) \, dx \), którą zwykle łatwiej obliczyć niż oryginalną.

Kroki w całkowaniu przez części

1. Wybór funkcji \( u(x) \) i \( v'(x) \): Wybierz \( u(x) \), którą będziesz różniczkować, oraz \( v'(x) \), którą będziesz całkować.

2. Różniczkowanie i całkowanie: Oblicz pochodną \( u'(x) \) oraz całkę \( v(x) \) z funkcji \( v'(x) \).

3. Zastosowanie wzoru: Podstaw wyrażenia do wzoru na całkowanie przez części i uprość wyrażenie.

4. Obliczenie pozostałej całki: Oblicz nową całkę, która może być łatwiejsza do obliczenia niż oryginalna.

Przykład całkowania przez części

Rozważmy całkę:

\[ \int x e^x \, dx \]

1. Wybór funkcji \( u(x) \) i \( v'(x) \):

   • Wybieramy \( u(x) = x \) (różniczkujemy),
   • Wybieramy \( v'(x) = e^x \) (całkujemy).

2. Różniczkowanie i całkowanie:

   • \( u'(x) = 1 \),
   • \( v(x) = e^x \) (bo całka z \( e^x \) to \( e^x \)).

3. Zastosowanie wzoru:

\[ \int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \cdot 1 \, dx \]

4. Obliczenie pozostałej całki:

\[ \int x e^x \, dx = x e^x - e^x + C \]

Zatem wynik to:

\[ x e^x - e^x + C \]

Wskazówki

• Zazwyczaj warto wybrać funkcję \( u(x) \) jako tę, która staje się prostsza po zróżniczkowaniu, a \( v'(x) \) jako tę, która łatwo się całkuje.
• W niektórych przypadkach metoda części może wymagać zastosowania kilka razy lub użycia dodatkowych technik, aby uzyskać ostateczny wynik.
• Metoda części jest szczególnie przydatna do całkowania iloczynów funkcji wielomianowych, trygonometrycznych, logarytmicznych oraz wykładniczych.

Podsumowanie

Metoda części jest efektywnym narzędziem, które upraszcza całki z iloczynów funkcji. Dzięki jej zastosowaniu możliwe jest przekształcenie trudnych całek w prostsze wyrażenia, które są łatwiejsze do obliczenia.