Tożsamości trygonometryczne

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

\[\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\] \[\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta\] \[\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta\] \[\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\] \[\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\] \[\tan \theta \cdot \cot \theta = 1\] 

Tożsamości dla sumy i różnicy kątów

\[\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\] \[\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta\] \[\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta\] \[\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta\] \[\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}\] \[\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}\]

Tożsamości dla kątów podwojonych

\[\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha\] \[\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2 \sin^2 \alpha\] \[\tan(2\alpha) = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}\]

Tożsamości dla kątów połowicznych

\[\sin \left( \frac{\alpha}{2} \right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}\] \[\cos \left( \frac{\alpha}{2} \right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}\] \[\tan \left( \frac{\alpha}{2} \right) = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}\]

Tożsamości iloczynów

\[\sin \alpha \sin \beta = \frac{\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)}{2}\] \[\cos \alpha \cos \beta = \frac{\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)}{2}\] \[\sin \alpha \cos \beta = \frac{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)}{2}\]

Suma i różnica funkcji

\[\sin x \pm \sin y = 2 \sin \left( \frac{x \pm y}{2} \right) \cos \left( \frac{x \mp y}{2} \right)\] \[\cos x + \cos y = 2 \cos \left( \frac{x + y}{2} \right) \cos \left( \frac{x - y}{2} \right)\] \[\cos x - \cos y = -2 \sin \left( \frac{x + y}{2} \right) \sin \left( \frac{x - y}{2} \right)\] \[\tan x \pm \tan y = \frac{\sin(x \pm y)}{\cos x \cos y}\] \[\tan x + \cot y = \frac{\cos(x - y)}{\cos x \sin y}\] \[\cot x \pm \cot y = \frac{\sin(y \pm x)}{\sin x \sin y}\] \[\cot x - \tan y = \frac{\cos(x + y)}{\sin x \cos y}\]

Tożsamości dla cosinusów i sinusów

\[1 - \cos x = 2 \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right)\] \[1 + \cos x = 2 \cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)\]

Iloczyn w postaci sumy

\[\cos x \cdot \cos y = \frac{\cos(x - y) + \cos(x + y)}{2}\] \[\sin x \cdot \sin y = \frac{\cos(x - y) - \cos(x + y)}{2}\] \[\sin x \cdot \cos y = \frac{\sin(x - y) + \sin(x + y)}{2}\]

Potęgi w postaci sumy

\[\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}\] \[\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}\] \[\sin^2 x \cdot \cos^2 x = \frac{1 - \cos 4x}{8} = \frac{\sin^2 2x}{4}\] \[\sin^3 x = \frac{3 \sin x - \sin 3x}{4}\] \[\cos^3 x = \frac{3 \cos x + \cos 3x}{4}\] \[\sin^4 x = \frac{\cos 4x - 4 \cos 2x + 3}{8}\] \[\cos^4 x = \frac{\cos 4x + 4 \cos 2x + 3}{8}\] \[\sin^2 x - \sin^2 y = \sin(x + y) \cdot \sin(x - y)\]

Zastosowanie w praktyce

Te tożsamości są niezwykle przydatne w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. Mogą być stosowane do uproszczania wyrażeń trygonometrycznych, rozwiązywania równań trygonometrycznych, a także do rozwiązywania zadań geometrycznych i problemów związanych z falami, oscylacjami oraz analizą sygnałów.