Funkcja sinus

Funkcja sinus jest jedną z podstawowych funkcji trygonometrycznych, które opisują zależności między bokami i kątami w trójkątach prostokątnych. Sinus kąta określany jest jako stosunek długości przeciwprostokątnej do długości przyprostokątnej naprzeciwko tego kąta w trójkącie prostokątnym.

Definicja

Funkcja sinus przyjmuje kąt $\theta$ jako argument i zwraca stosunek długości przeciwprostokątnej do długości przyprostokątnej naprzeciwko kąta:

$$ \sin(\theta) = \frac{\text{przeciwprostokątna}}{\text{przyprostokątna naprzeciwko kąta}} $$

Dla kąta $\theta$ wyrażonego w radianach, sinus kąta można również zdefiniować na okręgu jednostkowym jako współrzędną $y$ punktu na okręgu, który odpowiada kątowi $\theta$.

Własności funkcji sinus

Dziedzina: Funkcja sinus jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$, czyli $x \in (-\infty, \infty)$.
Zbiór wartości: Wartości funkcji sinus mieszczą się w przedziale od $-1$ do $1$, czyli $ \sin(x) \in [-1, 1] $.
Okresowość: Funkcja sinus jest okresowa z okresem $2\pi$. Oznacza to, że $ \sin(x + 2\pi) = \sin(x) $ dla dowolnego $x$.
Symetria: Funkcja sinus jest funkcją nieparzystą, co oznacza, że $ \sin(-x) = -\sin(x) $.

Wartości funkcji sinus dla wybranych kątów

$\sin(0^\circ) = 0$
$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$
$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin(90^\circ) = 1$

Wykres funkcji sinus

Wykres funkcji sinus przypomina falę, której wartości oscylują między $-1$ a $1$, z maksymalnym wzniesieniem przy $ \sin(90^\circ) $ i najniższym opadnięciem przy $ \sin(270^\circ) $. Okres funkcji wynosi $2\pi$, co oznacza, że wykres powtarza się co $2\pi$ jednostki.

Równania sinusoidalne

Równania zawierające funkcję sinus są często nazywane równaniami sinusoidalnymi. Mogą one być używane do opisu fal, oscylacji i drgań. Przykładowe równanie sinusoidalne ma postać:

$$ y = A \sin(Bx + C) + D $$

gdzie:

$A$ to amplituda,
$B$ to częstotliwość,
$C$ to przesunięcie fazowe,
$D$ to przesunięcie pionowe.

Zastosowania funkcji sinus

Funkcja sinus jest niezwykle użyteczna w wielu dziedzinach nauki i techniki. Oto niektóre z jej zastosowań:

Fizyka: Opis drgań harmonicznych, ruchu falowego, i obwodów elektrycznych.
Inżynieria: Analiza sygnałów, przetwarzanie dźwięku i obrazu.
Geometria: Obliczenia związane z trójkątami, szczególnie w trójkątach prostokątnych.
Astronomia: Określanie położeń ciał niebieskich na sferze niebieskiej.

Funkcja sinus odgrywa kluczową rolę w opisie ruchu falowego oraz w analizie sygnałów w wielu różnych zastosowaniach naukowych i technicznych.