Liczby zespolone

Liczby zespolone są rozszerzeniem liczb rzeczywistych i są kluczowym pojęciem w matematyce, fizyce oraz inżynierii. Wprowadzenie liczb zespolonych umożliwia rozwiązywanie równań, które nie mają rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, takich jak równanie \(x^2 + 1 = 0\).

Definicja liczby zespolonej

Liczba zespolona to wyrażenie postaci: \[ z = a + bi \] gdzie:

\(a\) – część rzeczywista liczby zespolonej,
\(b\) – część urojona liczby zespolonej,
\(i\) – jednostka urojona, dla której \(i^2 = -1\).

Przykłady:

\( z = 3 + 4i \) – liczba zespolona, gdzie \(a = 3\) (część rzeczywista), a \(b = 4\) (część urojona).
\( z = -2 + 7i \) – liczba zespolona, gdzie \(a = -2\), \(b = 7\).

Płaszczyzna zespolona

Liczby zespolone można przedstawić na płaszczyźnie zespolonej (płaszczyzna Gaussa), gdzie:

Oś pozioma (oś \(x\)) reprezentuje część rzeczywistą liczby,
Oś pionowa (oś \(y\)) reprezentuje część urojoną.

Liczbę zespoloną \( z = a + bi \) można przedstawić jako punkt o współrzędnych \( (a, b) \) lub jako wektor zaczepiony w punkcie \( (a, b) \).

Działania na liczbach zespolonych

Dodawanie liczb zespolonych:

Aby dodać dwie liczby zespolone, dodajemy osobno ich części rzeczywiste i urojone: \[ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \] Przykład: \[ (3 + 4i) + (1 + 2i) = (3 + 1) + (4 + 2)i = 4 + 6i \]

Odejmowanie liczb zespolonych:

Odejmujemy części rzeczywiste i urojone osobno: \[ (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i \] Przykład: \[ (5 + 3i) - (2 + i) = (5 - 2) + (3 - 1)i = 3 + 2i \]

Jednostka urojona \(i\)

Podstawową właściwością jednostki urojonej \(i\) jest to, że: \[ i^2 = -1 \] Wynika z tego, że każda potęga \(i\) powtarza się cyklicznie co cztery kroki: \[ i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1 \] W związku z tym dla dowolnej \(n\)-tej potęgi \(i\), można sprowadzić wynik do jednej z czterech wartości: \(i, -1, -i, 1\).

Sprzężenie liczby zespolonej

Sprzężeniem liczby zespolonej \( z = a + bi \) nazywamy liczbę zespoloną \( \overline{z} = a - bi \), w której zmieniamy znak przy części urojonej.

Przykład:

Jeśli \( z = 3 + 4i \), to sprzężenie \( \overline{z} = 3 - 4i \).

Sprzężenie liczby zespolonej jest przydatne w wielu operacjach, np. przy dzieleniu liczb zespolonych.

Moduł liczby zespolonej

Modułem liczby zespolonej \( z = a + bi \) nazywamy długość wektora reprezentującego tę liczbę na płaszczyźnie zespolonej. Moduł obliczamy według wzoru: \[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Przykład:

Dla liczby zespolonej \( z = 3 + 4i \): \[ |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Zastosowania liczb zespolonych

Liczby zespolone mają szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach nauki, takich jak:

Fizyka: w teorii fal, elektrodynamice, a także w mechanice kwantowej.
Inżynieria: liczby zespolone są używane w analizie obwodów elektrycznych, szczególnie w prądzie przemiennym.
Matematyka: liczby zespolone są kluczowe w analizie zespolonej, a także w rozwiązywaniu równań różniczkowych i równań algebraicznych wyższego stopnia.

Podsumowanie

Liczby zespolone rozszerzają zbiór liczb rzeczywistych i umożliwiają operacje, które nie są możliwe w obrębie liczb rzeczywistych. Ich geometria na płaszczyźnie zespolonej, operacje algebraiczne oraz zastosowania w naukach ścisłych sprawiają, że są one niezwykle użyteczne zarówno w teorii, jak i w praktyce.