Kąt między dwiema prostymi

Kąt między dwiema prostymi, których równania są liniowe, można obliczyć na podstawie współczynników kierunkowych tych prostych. Jeżeli mamy dwie funkcje liniowe o równaniach:

\[ f(x) = a_1x + b_1 \] \[ g(x) = a_2x + b_2 \]

to kąt \( \theta \) między tymi prostymi można wyznaczyć, używając ich współczynników kierunkowych \( a_1 \) oraz \( a_2 \).

Wzór na kąt między prostymi

Kąt \( \theta \) między dwiema prostymi wyraża się wzorem:

\[ \tan(\theta) = \left| \frac{a_1 - a_2}{1 + a_1a_2} \right| \]

Gdzie \( a_1 \) i \( a_2 \) są współczynnikami kierunkowymi prostych. Z tego wzoru można obliczyć kąt \( \theta \), przy użyciu funkcji arcus tangens \( \theta = \tan^{-1}(\dots) \).

Przypadki szczególne:

• Proste równoległe: Jeżeli \( a_1 = a_2 \), to \( \tan(\theta) = 0 \), co oznacza, że \( \theta = 0^\circ \). Oznacza to, że proste są równoległe i nie tworzą kąta.
• Proste prostopadłe: Jeżeli \( a_1 \cdot a_2 = -1 \), to \( \tan(\theta) \to \infty \), co oznacza, że \( \theta = 90^\circ \). Oznacza to, że proste są prostopadłe i tworzą kąt prosty.

Przykład 1: obliczanie kąta między prostymi

Rozważmy dwie funkcje liniowe:

1. \( f(x) = 2x + 3 \) (gdzie \( a_1 = 2 \)),
2. \( g(x) = -x + 1 \) (gdzie \( a_2 = -1 \)).

Obliczamy kąt \( \theta \) między tymi prostymi:

\[ \tan(\theta) = \left| \frac{2 - (-1)}{1 + 2 \cdot (-1)} \right| = \left| \frac{2 + 1}{1 - 2} \right| = \left| \frac{3}{-1} \right| = 3 \]

Teraz używamy funkcji arcus tangens, aby obliczyć kąt \( \theta \):

\[ \theta = \tan^{-1}(3) \]

Wynik to \( \theta \approx 71.57^\circ \).

Zatem kąt między prostymi \( f(x) = 2x + 3 \) i \( g(x) = -x + 1 \) wynosi około \( 71.57^\circ \).

Przykład 2: proste prostopadłe

Rozważmy prostą \( f(x) = 2x + 3 \) i prostą prostopadłą \( g(x) = -\frac{1}{2}x + 4 \). Współczynniki kierunkowe wynoszą odpowiednio \( a_1 = 2 \) oraz \( a_2 = -\frac{1}{2} \).

Sprawdźmy, czy proste są prostopadłe:

\[ a_1 \cdot a_2 = 2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = -1 \]

Ponieważ \( a_1 \cdot a_2 = -1 \), proste są prostopadłe i kąt między nimi wynosi \( 90^\circ \).

Kąt między prostymi na wykresie

Aby narysować kąt między prostymi, należy narysować wykresy obu funkcji i znaleźć punkt przecięcia prostych. Kąt \( \theta \) to kąt utworzony przez te dwie proste w punkcie przecięcia.

Przykład 3

Rozważmy proste \( f(x) = 2x + 3 \) i \( g(x) = -x + 1 \). Możemy obliczyć punkt przecięcia prostych, rozwiązując równanie \( 2x + 3 = -x + 1 \):

1. Przenosimy wyrazy z \( x \) na jedną stronę:

\[ 2x + x = 1 - 3 \] \[ 3x = -2 \] \[ x = -\frac{2}{3} \]

2. Podstawiamy wartość \( x \) do jednej z funkcji, np. \( f(x) = 2x + 3 \):

\[ f\left( -\frac{2}{3} \right) = 2 \cdot \left( -\frac{2}{3} \right) + 3 = -\frac{4}{3} + 3 = \frac{5}{3} \]

Zatem punkt przecięcia prostych to \( \left( -\frac{2}{3}, \frac{5}{3} \right) \).

Na wykresie dwie proste przecinają się w tym punkcie, a kąt \( \theta \) między nimi wynosi \( 71.57^\circ \), jak obliczono wcześniej.