Forma trygonometryczna liczby zespolonej

Forma trygonometryczna liczby zespolonej jest przydatna szczególnie w przypadku operacji takich jak mnożenie, dzielenie, czy podnoszenie do potęgi liczb zespolonych. Przedstawienie liczby zespolonej w tej postaci ułatwia wykonywanie obliczeń, ponieważ operacje algebraiczne stają się prostymi operacjami na modułach i argumentach.

Przejście do formy trygonometrycznej

Każdą liczbę zespoloną \( z = a + bi \) można zapisać w formie trygonometrycznej, wykorzystując jej moduł \( |z| \) oraz argument \( \theta \). Forma trygonometryczna liczby zespolonej ma postać:

\[ z = r (\cos \theta + i \sin \theta) \]

gdzie:

\( r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \) to moduł liczby zespolonej,
\( \theta = \arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \) to argument liczby zespolonej.

Przykład 1:

Rozważmy liczbę zespoloną \( z = 3 + 4i \). Aby przejść do formy trygonometrycznej:

Obliczamy moduł \( r \): \[ r = |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
Obliczamy argument \( \theta \): \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53,13^\circ \]
Zatem liczba \( z \) w formie trygonometrycznej to: \[ z = 5 \left( \cos 53,13^\circ + i \sin 53,13^\circ \right) \]

Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w formie trygonometrycznej

Mnożenie:

Aby pomnożyć dwie liczby zespolone \( z_1 = r_1 (\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) \) oraz \( z_2 = r_2 (\cos \theta_2 + i \sin \theta_2) \), korzystamy z prostego wzoru:

\[ z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 \left( \cos (\theta_1 + \theta_2) + i \sin (\theta_1 + \theta_2) \right) \]

Przykład 2:

Pomnóżmy liczby zespolone \( z_1 = 2 \left( \cos 30^\circ + i \sin 30^\circ \right) \) i \( z_2 = 3 \left( \cos 45^\circ + i \sin 45^\circ \right) \): \[ z_1 \cdot z_2 = 2 \cdot 3 \left( \cos (30^\circ + 45^\circ) + i \sin (30^\circ + 45^\circ) \right) = 6 \left( \cos 75^\circ + i \sin 75^\circ \right) \] Wynik to \( 6 \left( \cos 75^\circ + i \sin 75^\circ \right) \).

Dzielenie:

Aby podzielić dwie liczby zespolone w formie trygonometrycznej \( z_1 = r_1 (\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) \) przez \( z_2 = r_2 (\cos \theta_2 + i \sin \theta_2) \), stosujemy wzór:

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left( \cos (\theta_1 - \theta_2) + i \sin (\theta_1 - \theta_2) \right) \]

Przykład 3:

Podzielmy \( z_1 = 6 \left( \cos 75^\circ + i \sin 75^\circ \right) \) przez \( z_2 = 3 \left( \cos 45^\circ + i \sin 45^\circ \right) \): \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{6}{3} \left( \cos (75^\circ - 45^\circ) + i \sin (75^\circ - 45^\circ) \right) = 2 \left( \cos 30^\circ + i \sin 30^\circ \right) \] Wynik to \( 2 \left( \cos 30^\circ + i \sin 30^\circ \right) \).

Podnoszenie liczb zespolonych do potęgi

Aby podnieść liczbę zespoloną do potęgi \( n \), korzystamy z wzoru de Moivre’a: \[ z^n = r^n \left( \cos (n\theta) + i \sin (n\theta) \right) \]

Przykład 4:

Podnieśmy liczbę \( z = 2 \left( \cos 45^\circ + i \sin 45^\circ \right) \) do potęgi 3: \[ z^3 = 2^3 \left( \cos (3 \cdot 45^\circ) + i \sin (3 \cdot 45^\circ) \right) = 8 \left( \cos 135^\circ + i \sin 135^\circ \right) \] Wynik to \( 8 \left( \cos 135^\circ + i \sin 135^\circ \right) \).

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Aby obliczyć pierwiastek \( n \)-tego stopnia z liczby zespolonej, używamy następującego wzoru: \[ z_k = r^{1/n} \left( \cos \frac{\theta + 2k\pi}{n} + i \sin \frac{\theta + 2k\pi}{n} \right) \quad \text{dla} \quad k = 0, 1, \dots, n-1 \] Oznacza to, że liczba zespolona ma \( n \) pierwiastków zespolonych, które są równomiernie rozmieszczone na płaszczyźnie zespolonej.

Przykład 5:

Obliczmy pierwiastki kwadratowe z liczby \( z = 4 \left( \cos 60^\circ + i \sin 60^\circ \right) \):

Moduł pierwiastka to \( \sqrt{4} = 2 \).
Argumenty pierwiastków to:
- Dla \( k = 0 \): \( \frac{60^\circ + 2 \cdot 0 \cdot 180^\circ}{2} = 30^\circ \),
- Dla \( k = 1 \): \( \frac{60^\circ + 2 \cdot 180^\circ}{2} = 150^\circ \).

Pierwiastki to: \[ z_0 = 2 \left( \cos 30^\circ + i \sin 30^\circ \right), \quad z_1 = 2 \left( \cos 150^\circ + i \sin 150^\circ \right) \]

Podsumowanie

Forma trygonometryczna liczb zespolonych jest niezwykle użyteczna w obliczeniach, szczególnie przy mnożeniu, dzieleniu, podnoszeniu do potęgi i pierwiastkowaniu. W tej formie łatwo można pracować na modułach i argumentach liczb zespolonych, co upraszcza operacje, które byłyby bardziej skomplikowane w postaci algebraicznej.