Funkcje kwadratowe

Funkcja kwadratowa to funkcja matematyczna, która może być zapisana w postaci ogólnej:

$$ f(x) = ax^2 + bx + c $$

gdzie $ a $, $ b $, i $ c $ są stałymi, a $ a \neq 0 $.

Postać kanoniczna

Funkcję kwadratową można również zapisać w postaci kanonicznej, która jest przydatna do analizy jej właściwości:

$$ f(x) = a(x - p)^2 + q $$

gdzie $ (p, q) $ to wierzchołek paraboli.

Wierzchołek: Punkt $ (p, q) $ jest wierzchołkiem paraboli. W przypadku, gdy $ a > 0 $, parabola jest "uśmiechnięta" i wierzchołek jest jej minimum. Gdy $ a < 0 $, parabola jest "smutna" i wierzchołek jest jej maksimum.
Symetria: Parabola jest symetryczna względem linii pionowej, która przechodzi przez wierzchołek. Ta linia nazywana jest osią symetrii i jej równanie ma postać $ x = p $.
Miejsce Zerowe: Miejsca zerowe funkcji kwadratowej to punkty, w których funkcja przecina oś $ x $. Można je znaleźć, rozwiązując równanie kwadratowe:

$$ ax^2 + bx + c = 0 $$

Miejsca zerowe można obliczyć za pomocą wzoru kwadratowego:

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

Postać Ogólna a Postać Kanoniczna: Aby przekształcić funkcję kwadratową z postaci ogólnej do kanonicznej, stosuje się procedurę dopełniania kwadratu.

Rozważmy funkcję kwadratową:

$$ f(x) = 2x^2 - 4x + 1 $$

Aby znaleźć wierzchołek i miejsca zerowe, możemy przejść przez następujące kroki:

Znajdowanie Wierzchołka: Używając wzoru na wierzchołek w postaci kanonicznej, możemy przekształcić funkcję do tej formy.
Obliczanie Miejsc Zerowych: Rozwiążemy równanie kwadratowe:

$$ 2x^2 - 4x + 1 = 0 $$

za pomocą wzoru kwadratowego.

Funkcje kwadratowe są szeroko stosowane w matematyce i naukach przyrodniczych, szczególnie w analizie ruchu i optymalizacji.