Okrąg

Definicja okręgu

Okrąg to zbiór wszystkich punktów w płaszczyźnie, które są oddalone od ustalonego punktu, zwanego środkiem okręgu, o stałą odległość, zwaną promieniem. Okrąg nie zawiera wnętrza figury – jest to jedynie krzywa zamknięta.

1. Elementy okręgu

• Środek okręgu: Punkt, od którego wszystkie punkty okręgu są jednakowo oddalone. Oznaczany jako \( O \).
• Promień okręgu: Odległość między środkiem a dowolnym punktem na okręgu. Oznaczany jako \( r \).
• Średnica okręgu: Odległość między dwoma punktami okręgu, przechodząca przez jego środek. Jest to dwa razy promień, czyli \( d = 2r \).
• Cięciwa: Odcinek łączący dwa dowolne punkty na okręgu, który nie musi przechodzić przez środek.
• Łuk: Część okręgu zawarta między dwoma punktami.
• Kąt środkowy: Kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku okręgu, a ramiona przecinają okrąg.

2. Równanie okręgu

Okrąg w układzie współrzędnych kartezjańskich o środku w punkcie \( (x_0, y_0) \) i promieniu \( r \) można opisać równaniem:

\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \]

To równanie wyznacza wszystkie punkty \( (x, y) \), które znajdują się na okręgu o środku \( (x_0, y_0) \) i promieniu \( r \).

3. Okrąg a koło

Koło to figura, która obejmuje zarówno okrąg, jak i jego wnętrze, czyli zbiór punktów, których odległość od środka okręgu jest mniejsza lub równa promieniowi. Okrąg to tylko krzywa graniczna koła.

4. Pole koła

Pole koła można obliczyć za pomocą wzoru:

\[ P = \pi r^2 \]

gdzie \( r \) to promień koła, a \( \pi \) to stała matematyczna (około 3,14159).

5. Obwód okręgu

Obwód okręgu, czyli długość krzywej okręgu, można obliczyć za pomocą wzoru:

\[ C = 2 \pi r \]

gdzie \( r \) to promień okręgu.

6. Własności okręgu

• Każdy odcinek łączący środek okręgu z dowolnym punktem na okręgu ma długość równą promieniowi.
• Średnica jest najdłuższą cięciwą okręgu.
• Okrąg jest figurą o pełnej symetrii obrotowej.

Zastosowania okręgu

Okręgi są jednymi z najważniejszych figur w geometrii i mają szerokie zastosowanie w:

• geodezji, do opisywania kształtu Ziemi i trajektorii ruchu ciał niebieskich,
• architekturze i inżynierii, do projektowania elementów konstrukcyjnych o krzywoliniowych kształtach,
• matematyce, do rozwiązywania problemów związanych z odległością i symetrią,
• fizyce, do analizy ruchu w przestrzeni, np. ruchu po okręgu.