Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych

Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych to bardziej zaawansowane operacje niż dodawanie i odejmowanie. Operacje te można przeprowadzać zarówno w formie algebraicznej, jak i trygonometrycznej, co często ułatwia obliczenia. W tym dokumencie omówimy oba podejścia.

Mnożenie liczb zespolonych

Aby pomnożyć dwie liczby zespolone \( z_1 = a + bi \) oraz \( z_2 = c + di \), stosujemy wzór wynikający z mnożenia dwóch dwumianów:

\[ z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 \]

Pamiętając, że \( i^2 = -1 \), wyrażenie upraszcza się do:

\[ z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i \]

Przykład 1:

Pomnóżmy liczby zespolone \( z_1 = 2 + 3i \) oraz \( z_2 = 1 + 4i \): \[ z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i)(1 + 4i) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4i + 3i \cdot 1 + 3i \cdot 4i \] \[ = 2 + 8i + 3i + 12i^2 = 2 + 11i + 12(-1) = 2 + 11i - 12 = -10 + 11i \] Wynik to \( -10 + 11i \).

Przykład 2:

Pomnóżmy liczby \( z_1 = 3 + i \) oraz \( z_2 = 1 - 2i \): \[ z_1 \cdot z_2 = (3 + i)(1 - 2i) = 3 \cdot 1 + 3 \cdot (-2i) + i \cdot 1 + i \cdot (-2i) \] \[ = 3 - 6i + i - 2i^2 = 3 - 6i + i + 2 = 5 - 5i \] Wynik to \( 5 - 5i \).

Dzielenie liczb zespolonych

Aby podzielić dwie liczby zespolone \( z_1 = a + bi \) przez \( z_2 = c + di \), stosujemy następującą metodę:

  1. Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika \( \overline{z_2} = c - di \).
  2. To pozwala usunąć część urojoną z mianownika.

Dla \( z_1 = a + bi \) i \( z_2 = c + di \) dzielenie wygląda następująco:

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{(a + bi)}{(c + di)} \cdot \frac{(c - di)}{(c - di)} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} \]

Przykład 1:

Podzielmy liczby \( z_1 = 1 + 2i \) przez \( z_2 = 3 - 4i \):

  1. Znajdź sprzężenie mianownika \( z_2 = 3 - 4i \), zatem \( \overline{z_2} = 3 + 4i \).
  2. Mnożymy licznik i mianownik przez \( 3 + 4i \): \[ \frac{1 + 2i}{3 - 4i} = \frac{(1 + 2i)(3 + 4i)}{(3 - 4i)(3 + 4i)} = \frac{(1 \cdot 3 + 1 \cdot 4i + 2i \cdot 3 + 2i \cdot 4i)}{9 + 16} \] \[ = \frac{(3 + 4i + 6i - 8)}{25} = \frac{-5 + 10i}{25} = -\frac{5}{25} + \frac{10i}{25} = -\frac{1}{5} + \frac{2}{5}i \] Wynik to \( -\frac{1}{5} + \frac{2}{5}i \).

Przykład 2:

Podzielmy \( z_1 = 2 + i \) przez \( z_2 = 1 - i \):

  1. Znajdź sprzężenie \( \overline{z_2} = 1 + i \).
  2. Mnożymy licznik i mianownik przez \( 1 + i \): \[ \frac{2 + i}{1 - i} = \frac{(2 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{(2 \cdot 1 + 2 \cdot i + i \cdot 1 + i \cdot i)}{1 + 1} \] \[ = \frac{2 + 2i + i - 1}{2} = \frac{1 + 3i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i \] Wynik to \( \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i \).

Geometryczna interpretacja mnożenia i dzielenia liczb zespolonych

Mnożenie:

Mnożenie liczb zespolonych w formie trygonometrycznej jest prostsze do zrozumienia geometrycznie. Aby pomnożyć liczby zespolone \( z_1 = r_1 (\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) \) oraz \( z_2 = r_2 (\cos \theta_2 + i \sin \theta_2) \): \[ z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2)] \] Oznacza to, że mnożymy ich moduły oraz dodajemy kąty (argumenty).

Dzielenie:

Podobnie jak w przypadku mnożenia, dzielenie liczb zespolonych można przedstawić w formie trygonometrycznej: \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} [\cos(\theta_1 - \theta_2) + i \sin(\theta_1 - \theta_2)] \] Oznacza to, że dzielimy moduły oraz odejmujemy kąty (argumenty).

Podsumowanie

Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych wymaga operacji algebraicznych, które sprowadzają się do rozszerzenia operacji na dwumianach. Korzystanie z formy trygonometrycznej może uprościć obliczenia, szczególnie w przypadkach, gdy liczby zespolone są związane z kątem i odległością na płaszczyźnie zespolonej.