Pierwiastki liczb zespolonych

Pierwiastkowanie liczb zespolonych jest operacją, która daje kilka wyników, ponieważ liczby zespolone mają wiele pierwiastków. Dla liczby zespolonej \( z = r e^{i\theta} \) istnieje dokładnie \( n \) różnych pierwiastków \( n \)-tego stopnia, które są rozmieszczone równomiernie na płaszczyźnie zespolonej.

Wzór na pierwiastki liczb zespolonych

Aby obliczyć \( n \)-ty pierwiastek liczby zespolonej \( z \), korzystamy z następującego wzoru:

\[ z_k = r^{1/n} \left( \cos \frac{\theta + 2k\pi}{n} + i \sin \frac{\theta + 2k\pi}{n} \right) \quad \text{dla} \quad k = 0, 1, 2, \dots, n-1 \]

gdzie:

\( r \) to moduł liczby zespolonej,
\( \theta \) to argument liczby zespolonej,
\( n \) to stopień pierwiastka,
\( k \) to indeks pierwiastka, co oznacza, że każda liczba zespolona ma \( n \) pierwiastków, dla różnych wartości \( k \).

Geometria pierwiastków

Pierwiastki liczb zespolonych \( n \)-tego stopnia są równomiernie rozmieszczone na okręgu o promieniu \( r^{1/n} \) na płaszczyźnie zespolonej. Każdy pierwiastek tworzy z kolejnymi pierwiastkami kąt \( \frac{2\pi}{n} \), co oznacza, że są one rozmieszczone symetrycznie.

Przykład 1: Pierwiastki kwadratowe liczby zespolonej

Obliczmy pierwiastki kwadratowe liczby zespolonej \( z = 4 (\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ) \):

Moduł liczby wynosi \( r = 4 \), a argument \( \theta = 60^\circ \).
Pierwiastkiem kwadratowym będzie:
- Moduł pierwiastka: \( r^{1/2} = \sqrt{4} = 2 \).
- Argumenty pierwiastków to:
  - Dla \( k = 0 \): \( \frac{60^\circ + 2 \cdot 0 \cdot 180^\circ}{2} = 30^\circ \),
  - Dla \( k = 1 \): \( \frac{60^\circ + 2 \cdot 180^\circ}{2} = 150^\circ \).

Pierwiastki to: \[ z_0 = 2 \left( \cos 30^\circ + i \sin 30^\circ \right), \quad z_1 = 2 \left( \cos 150^\circ + i \sin 150^\circ \right) \]

Przykład 2: Pierwiastki sześcienne liczby zespolonej

Obliczmy pierwiastki sześcienne liczby zespolonej \( z = 8 \left( \cos 90^\circ + i \sin 90^\circ \right) \):

Moduł liczby \( r = 8 \), a argument \( \theta = 90^\circ \).
Pierwiastkiem sześciennym będzie:
- Moduł pierwiastka: \( r^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2 \).
- Argumenty pierwiastków to:
  - Dla \( k = 0 \): \( \frac{90^\circ + 2 \cdot 0 \cdot 360^\circ}{3} = 30^\circ \),
  - Dla \( k = 1 \): \( \frac{90^\circ + 2 \cdot 360^\circ}{3} = 150^\circ \),
  - Dla \( k = 2 \): \( \frac{90^\circ + 4 \cdot 360^\circ}{3} = 270^\circ \).

Pierwiastki to: \[ z_0 = 2 \left( \cos 30^\circ + i \sin 30^\circ \right), \quad z_1 = 2 \left( \cos 150^\circ + i \sin 150^\circ \right), \quad z_2 = 2 \left( \cos 270^\circ + i \sin 270^\circ \right) \]

Przykład 3: Pierwiastki kwadratowe liczby w postaci algebraicznej

Obliczmy pierwiastki kwadratowe liczby zespolonej \( z = 1 + i \):

Przedstawiamy liczbę \( z \) w formie trygonometrycznej:
- Moduł: \( r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \),
- Argument: \( \theta = \tan^{-1}\left( \frac{1}{1} \right) = 45^\circ \).
Pierwiastkiem kwadratowym będzie:
- Moduł pierwiastka: \( r^{1/2} = \sqrt[2]{\sqrt{2}} = \sqrt[4]{2} \),
- Argumenty pierwiastków to:
  - Dla \( k = 0 \): \( \frac{45^\circ + 2 \cdot 0 \cdot 180^\circ}{2} = 22,5^\circ \),
  - Dla \( k = 1 \): \( \frac{45^\circ + 2 \cdot 180^\circ}{2} = 202,5^\circ \).

Pierwiastki to: \[ z_0 = \sqrt[4]{2} \left( \cos 22,5^\circ + i \sin 22,5^\circ \right), \quad z_1 = \sqrt[4]{2} \left( \cos 202,5^\circ + i \sin 202,5^\circ \right) \]

Podsumowanie

Pierwiastkowanie liczb zespolonych jest bardziej złożoną operacją niż w przypadku liczb rzeczywistych, ponieważ liczba zespolona ma \( n \) różnych pierwiastków \( n \)-tego stopnia. Pierwiastki te są równomiernie rozmieszczone na płaszczyźnie zespolonej i można je obliczyć za pomocą wzorów bazujących na module i argumencie liczby zespolonej.