Funkcja trygonometryczna

Funkcje trygonometryczne to funkcje, które opisują zależności między kątami i długościami boków w trójkącie prostokątnym. Są one fundamentalne w matematyce, fizyce i inżynierii. W matematyce najczęściej spotykane funkcje trygonometryczne to sinus, cosinus, tangens oraz cotangens.

Podstawowe funkcje trygonometryczne

1. Sinus Funkcja sinus przyjmuje kąt jako argument i zwraca stosunek długości przeciwprostokątnej do długości przyprostokątnej naprzeciwko kąta:

   $$ \sin(\theta) = \frac{\text{przeciwprostokątna}}{\text{przyprostokątna naprzeciwko kąta}} $$

2. Cosinus Funkcja cosinus przyjmuje kąt jako argument i zwraca stosunek długości przyprostokątnej przylegającej do kąta do długości przeciwprostokątnej:

   $$ \cos(\theta) = \frac{\text{przyprostokątna przylegająca}}{\text{przeciwprostokątna}} $$

3. Tangens Funkcja tangens przyjmuje kąt jako argument i zwraca stosunek długości przeciwprostokątnej do długości przyprostokątnej przylegającej:

   $$ \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{\text{przeciwprostokątna}}{\text{przyprostokątna przylegająca}} $$

4. Cotangens Funkcja cotangens to odwrotność funkcji tangens:

   $$ \cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)} = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} $$

Własności funkcji trygonometrycznych

Funkcje trygonometryczne są okresowe, co oznacza, że ich wartości powtarzają się w regularnych odstępach czasu. Okresy te wynoszą:

• Dla sinusa i cosinusa: \(2\pi\),
• Dla tangensa i cotangensa: \(\pi\).

Przykłady

1. Sinus 90°:

   $$ \sin(90^\circ) = 1 $$

2. Cosinus 0°:

   $$ \cos(0^\circ) = 1 $$

3. Tangens 45°:

   $$ \tan(45^\circ) = 1 $$

Wykresy funkcji trygonometrycznych

Funkcje trygonometryczne można przedstawić na wykresie. Dla każdej z tych funkcji, oś pozioma odpowiada kątowi (wyrażonemu w radianach lub stopniach), a oś pionowa wartości funkcji.

• Wykres funkcji sinus i cosinus to fale sinusoidalne.
• Wykres funkcji tangens i cotangens to krzywe hiperboliczne, które mają asymptoty w miejscach, gdzie funkcje te są niezdefiniowane.

Zastosowania funkcji trygonometrycznych

Funkcje trygonometryczne znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach, takich jak:

• Geometria: Obliczanie długości boków i miar kątów w trójkątach.
• Fizyka: Opis drgań, fal i ruchu obrotowego.
• Inżynieria: Analiza obwodów elektrycznych, sygnałów i fal.
• Astronomia: Obliczanie pozycji ciał niebieskich.

Funkcje trygonometryczne są kluczowe dla zrozumienia wielu zjawisk matematycznych i fizycznych, które występują zarówno w codziennym życiu, jak i w zaawansowanych naukach.