Funkcja wartości bezwzględnej

Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera na osi liczbowej. Definiuje się ją następująco:

\[ |x| = \begin{cases} x & \text{gdy } x \geq 0, \\ -x & \text{gdy } x < 0. \end{cases} \]

Przykłady: \[ |3| = 3, \quad |-3| = 3, \quad |0| = 0 \]

---

Własności wartości bezwzględnej

1. Nieujemność: \(|x| \geq 0\).
2. Równość z zerem: \(|x| = 0 \iff x = 0\).
3. Symetria: \(|-x| = |x|\).
4. Mnożenie: \(|ab| = |a|\cdot|b|\).
5. Dzielenie: \(\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}\), dla \(b \neq 0\).
6. Potęgowanie: \(|x|^2 = x^2\).
7. Nierówność trójkąta: \(|a+b| \leq |a| + |b|\).

---

Funkcja wartości bezwzględnej

Rozważmy funkcję:

\[ f(x) = |x| \]

• Dziedzina: \(\mathbb{R}\).
• Zbiór wartości: \([0, \infty)\).
• Wykres: litera „V”, symetryczny względem osi \( Oy \).
• Monotoniczność: malejąca na \((-\infty, 0]\), rosnąca na \([0, \infty)\).
• Parzystość: funkcja parzysta, \(f(-x) = f(x)\).

---

Równania z wartością bezwzględną

Ogólny przypadek:

\[ |A| = B \quad \iff \quad \begin{cases} A = B, \\ A = -B, \end{cases} \quad \text{dla } B \geq 0. \]

Jeżeli \( B < 0 \), brak rozwiązań.

Przykład

\[ |x| = 5 \quad \implies \quad x = 5 \ \text{lub}\ x = -5 \]

---

Nierówności z wartością bezwzględną

1. \(|x| < a \iff -a < x < a\).
2. \(|x| \leq a \iff -a \leq x \leq a\).
3. \(|x| > a \iff x < -a \ \vee\ x > a\).
4. \(|x| \geq a \iff x \leq -a \ \vee\ x \geq a\).

Interpretacja geometryczna: odległość punktu \(x\) od zera jest mniejsza, większa lub równa \(a\).

Przykład

\[ |x-2| \leq 3 \iff -3 \leq x-2 \leq 3 \iff -1 \leq x \leq 5 \]

---

Funkcje przesunięte i zagnieżdżone

\[ f(x) = |x-2| \]

to przesunięcie wykresu \(|x|\) o 2 jednostki w prawo.

Rozpisując:

\[ |x-2| = \begin{cases} x-2 & \text{gdy } x \geq 2, \\ -(x-2) & \text{gdy } x < 2. \end{cases} \]

---

Rozwiązywanie równań typu \(|f(x)| = g(x)\)

1. Sprawdź, czy \(g(x) \geq 0\). Jeśli \(g(x) < 0\), brak rozwiązań.
2. Rozważ dwa przypadki:
   • \(f(x) = g(x)\),
   • \(f(x) = -g(x)\).

Przykład

\[ |x-3| = 2x-1 \]

Rozpatrujemy:

\[ x-3 = 2x-1 \quad \text{lub} \quad -(x-3) = 2x-1 \]

---

Typowe zadania podchwytliwe

1. \(|x+2| = |x-5|\)
   Szukamy punktów równo odległych od \(-2\) i \(5\). Rozwiązanie to środek odcinka:
   \[ x = \frac{-2+5}{2} = 1.5 \]

2. \(|2x-1| + |x+3| = 7\)
   Rozwiązujemy, rozpisując na przedziały zależne od miejsc zerowych \(2x-1\) i \(x+3\).

---

Interpretacja geometryczna

• Równania typu \(|x-a| = |x-b|\) oznaczają punkty równo odległe od \(a\) i \(b\).
• Nierówności typu \(|x-a| < |x-b|\) oznaczają punkty bliżej \(a\) niż \(b\).

---

Zadania przykładowe

1. Rozwiąż równanie:
   \[ |2x-5| = |x+1| \]

2. Rozwiąż równanie:
   \[ |x-2| + |x+3| = 7 \]

3. Narysuj wykres funkcji:
   \[ y = |x^2 - 4| \]

---