Funkcje liniowe

Funkcja liniowa to jedna z najprostszych funkcji matematycznych. Jej postać ogólna to:

\[ f(x) = ax + b \]

gdzie:

\( a \) jest współczynnikiem kierunkowym, który określa nachylenie prostej,
\( b \) jest wyrazem wolnym, który przesuwa prostą w górę lub w dół na osi \( y \).

Własności funkcji liniowej

Wykres: Wykresem funkcji liniowej jest prosta. Jeżeli współczynnik \( a \) jest dodatni, funkcja rośnie, a jeśli ujemny — maleje. Wartość \( b \) przesuwa wykres wzdłuż osi \( y \).
Miejsce zerowe: Aby znaleźć miejsce zerowe funkcji liniowej, należy rozwiązać równanie \( f(x) = 0 \), czyli:

\[ ax + b = 0 \]

Przykładowo, dla funkcji \( f(x) = 2x + 3 \), miejsce zerowe obliczamy w następujący sposób:

\[ 2x + 3 = 0 \\ 2x = -3 \\ x = -\frac{3}{2} \]

Zatem miejsce zerowe funkcji to \( x = -\frac{3}{2} \).

Wartość dla \( x = 0 \): Wartość funkcji dla \( x = 0 \) to punkt, w którym wykres przecina oś \( y \). Wynosi ona \( b \), czyli:

\[ f(0) = a \cdot 0 + b = b \]

Przykład funkcji liniowej

Rozważmy funkcję:

\[ f(x) = 3x - 5 \]

Współczynnik kierunkowy \( a = 3 \) — oznacza to, że wykres funkcji rośnie.
Wyraz wolny \( b = -5 \) — oznacza, że wykres funkcji jest przesunięty o 5 jednostek w dół względem osi \( y \).

Znalezienie miejsca zerowego

Aby znaleźć miejsce zerowe tej funkcji, rozwiążmy równanie \( 3x - 5 = 0 \):

\[ 3x - 5 = 0 \\ 3x = 5 \\ x = \frac{5}{3} \]

Zatem miejsce zerowe funkcji to \( x = \frac{5}{3} \).

Wartość funkcji dla \( x = 0 \)

Dla \( x = 0 \) mamy:

\[ f(0) = 3 \cdot 0 - 5 = -5 \]

Zatem funkcja przecina oś \( y \) w punkcie \( -5 \).

Zastosowania funkcji liniowych

Funkcje liniowe są powszechnie stosowane w matematyce i fizyce, a także w ekonomii. Przykładowo, w ekonomii funkcje liniowe mogą opisywać zależności między kosztami a produkcją. W fizyce można za ich pomocą opisać ruch prostoliniowy o stałej prędkości.

Wykres funkcji liniowej

Aby narysować wykres funkcji liniowej, wystarczy znaleźć dwa punkty na wykresie. Można na przykład wybrać dowolne wartości \( x \), obliczyć dla nich \( f(x) \), a następnie zaznaczyć te punkty i połączyć je prostą.

Dla funkcji \( f(x) = 3x - 5 \) możemy wybrać \( x = 0 \) i \( x = 2 \):

Dla \( x = 0 \): \( f(0) = -5 \)
Dla \( x = 2 \): \( f(2) = 3 \cdot 2 - 5 = 1 \)

Punkty \( (0, -5) \) i \( (2, 1) \) leżą na wykresie funkcji, który jest prostą przechodzącą przez te punkty.