Funkcja tangens

Funkcja tangens to jedna z podstawowych funkcji trygonometrycznych, która opisuje zależność między bokami i kątami w trójkącie prostokątnym. Tangens kąta jest definiowany jako stosunek sinusa kąta do cosinusa kąta.

Definicja

Funkcja tangens przyjmuje kąt $\theta$ jako argument i zwraca stosunek sinusa do cosinusa tego kąta:

$$ \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} $$

W trójkącie prostokątnym tangens kąta można również wyrazić jako stosunek długości przeciwprostokątnej do długości przyprostokątnej przylegającej do kąta.

Własności funkcji tangens

Dziedzina: Funkcja tangens nie jest określona dla kątów, dla których $\cos(\theta) = 0$, co dzieje się dla $\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi$, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą. Tangens jest więc określony dla $x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \right\}$.
Zbiór wartości: Funkcja tangens może przyjmować dowolną wartość rzeczywistą, czyli $ \tan(x) \in (-\infty, \infty) $.
Okresowość: Funkcja tangens jest okresowa z okresem $\pi$. Oznacza to, że $ \tan(x + \pi) = \tan(x) $ dla dowolnego $x$.
Symetria: Funkcja tangens jest funkcją nieparzystą, co oznacza, że $ \tan(-x) = -\tan(x) $.

Wartości funkcji tangens dla wybranych kątów

$\tan(0^\circ) = 0$
$\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\tan(45^\circ) = 1$
$\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$

Funkcja tangens jest niezdefiniowana dla $\theta = 90^\circ$ oraz wszystkich wartości kąta będących całkowitymi wielokrotnościami $\frac{\pi}{2}$.

Wykres funkcji tangens

Wykres funkcji tangens ma charakter asymptotyczny – funkcja dąży do nieskończoności, gdy $\theta$ zbliża się do wartości, dla których cosinus kąta wynosi 0. Wykres jest symetryczny względem początku układu współrzędnych i powtarza się co $\pi$ jednostek.

Zastosowanie funkcji tangens

Funkcja tangens ma wiele praktycznych zastosowań w różnych dziedzinach:

Geometria: Stosowana do obliczania miar kątów i boków w trójkątach, szczególnie w kontekście równań trygonometrycznych.
Fizyka: Używana w analizie ruchu falowego, w szczególności w przypadku rozchodzenia się fal i oscylacji.
Inżynieria: Wykorzystywana w analizie sygnałów, przetwarzaniu dźwięku i obrazu oraz w modelowaniu zjawisk okresowych.

Wzór na tangens sumy kątów

Istnieje wzór umożliwiający obliczenie tangensa sumy dwóch kątów $\alpha$ i $\beta$:

$$ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 - \tan(\alpha)\tan(\beta)} $$

Wzór ten jest przydatny w bardziej zaawansowanych obliczeniach trygonometrycznych.

Wzór na tangens połowy kąta

Funkcję tangens można również wyrazić dla połowy kąta $\theta$:

$$ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos(\theta)}{\sin(\theta)} $$

Funkcja tangens odgrywa kluczową rolę w opisie zjawisk fizycznych i matematycznych, szczególnie tych związanych z kątem nachylenia i zmianą położenia w przestrzeni.