Metoda podstawiania

Metoda podstawiania to jedna z podstawowych technik rozwiązywania układów równań liniowych. Polega ona na rozwiązaniu jednego z równań względem jednej zmiennej, a następnie podstawieniu tego rozwiązania do pozostałych równań. Jest to szczególnie przydatne, gdy jedno z równań w układzie można łatwo rozwiązać.

Etapy metody podstawiania

1. Wybór równania i zmiennej

Wybierz jedno z równań w układzie, które łatwo można rozwiązać względem jednej z zmiennych. Najczęściej wybiera się równanie, które ma tylko jedną zmienną lub zmienne są współczynnikiem w łatwy sposób.

Przykład: \[ \begin{cases} 2x + y = 4 \\ x - y = 1 \end{cases} \]

W tym przypadku można łatwo rozwiązać drugie równanie względem \( x \) lub \( y \).

2. Rozwiązanie jednego równania

Rozwiąż wybrane równanie względem jednej zmiennej.

Na przykład, rozwiązujemy drugie równanie względem \( x \): \[ x - y = 1 \implies x = y + 1 \]

3. Podstawienie rozwiązania

Podstaw rozwiązanie uzyskane w poprzednim kroku do pozostałych równań w układzie.

Podstawiamy \( x = y + 1 \) do pierwszego równania: \[ 2(y + 1) + y = 4 \]

4. Rozwiązanie nowego równania

Rozwiąż nowe równanie względem pozostałej zmiennej.

\[ 2(y + 1) + y = 4 \\ 2y + 2 + y = 4 \\ 3y + 2 = 4 \\ 3y = 2 \\ y = \frac{2}{3} \]

5. Obliczenie pozostałych zmiennych

Podstaw uzyskaną wartość zmiennej do wyrażenia z kroku 2, aby znaleźć pozostałą zmienną.

Podstawiamy \( y = \frac{2}{3} \) do \( x = y + 1 \): \[ x = \frac{2}{3} + 1 \\ x = \frac{2}{3} + \frac{3}{3} \\ x = \frac{5}{3} \]

6. Sprawdzenie rozwiązania

Podstaw uzyskane wartości \( x \) i \( y \) do wszystkich równań w układzie, aby upewnić się, że są one prawidłowe.

Podstawiamy \( x = \frac{5}{3} \) i \( y = \frac{2}{3} \) do pierwszego równania: \[ 2 \left(\frac{5}{3}\right) + \frac{2}{3} = \frac{10}{3} + \frac{2}{3} = \frac{12}{3} = 4 \]

Odpowiedź zgadza się z równaniem, więc rozwiązanie jest poprawne.

Przykład ogólny

Rozważmy układ równań: \[ \begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ x - y = 2 \end{cases} \]

  1. Rozwiązujemy drugie równanie względem \( x \): \[ x = y + 2 \]

  2. Podstawiamy do pierwszego równania: \[ 3(y + 2) + 2y = 7 \\ 3y + 6 + 2y = 7 \\ 5y + 6 = 7 \\ 5y = 1 \\ y = \frac{1}{5} \]

  3. Obliczamy \( x \): \[ x = \frac{1}{5} + 2 \\ x = \frac{1}{5} + \frac{10}{5} \\ x = \frac{11}{5} \]

  4. Sprawdzamy rozwiązanie w obu równaniach: \[ 3 \left(\frac{11}{5}\right) + 2 \left(\frac{1}{5}\right) = \frac{33}{5} + \frac{2}{5} = \frac{35}{5} = 7 \] \[\frac{11}{5} - \frac{1}{5} = \frac{10}{5} = 2\]

Rozwiązanie jest poprawne.

Zastosowania metody podstawiania

Metoda podstawiania jest przydatna w przypadku małych układów równań i gdy jeden z równań jest łatwy do rozwiązania. Jest to technika efektywna w rozwiązywaniu układów o dwóch lub trzech zmiennych, ale może być mniej praktyczna dla większych układów, gdzie inne metody, takie jak eliminacja Gaussa, mogą być bardziej efektywne.