Miejsca zerowe

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej to wartości \( x \), dla których funkcja przyjmuje wartość zero. Funkcja kwadratowa ma postać:

\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]

gdzie \( a \), \( b \) i \( c \) są stałymi, a \( a \neq 0 \).

Wyznaczanie miejsc zerowych

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej można znaleźć, rozwiązując równanie kwadratowe:

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

1. Wzór kwadratowy

Najczęściej stosowaną metodą znajdowania miejsc zerowych funkcji kwadratowej jest użycie wzoru kwadratowego:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

gdzie \(\Delta = b^2 - 4ac\) to wyróżnik równania kwadratowego.

• Wyróżnik \(\Delta\): \(\Delta = b^2 - 4ac\) pozwala określić liczbę miejsc zerowych funkcji kwadratowej oraz ich charakter:
  • \(\Delta > 0\): Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste.
  • \(\Delta = 0\): Równanie kwadratowe ma jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty.
  • \(\Delta < 0\): Równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych (ma pierwiastki zespolone).

Przykład

Rozważmy funkcję kwadratową:

\[ f(x) = 2x^2 - 4x - 6 \]

Aby znaleźć miejsca zerowe, należy rozwiązać równanie:

\[ 2x^2 - 4x - 6 = 0 \]

1. Oblicz wyróżnik:

   \[ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 16 + 48 = 64 \]

   Wyróżnik \(\Delta\) jest dodatni, co oznacza, że równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste.

2. Oblicz pierwiastki:

   Podstawiamy \(\Delta\) do wzoru kwadratowego:

   \[ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm 8}{4} \]

   Rozważmy obie możliwości:

   • Dla \( + \sqrt{64} \):

     \[ x_1 = \frac{4 + 8}{4} = \frac{12}{4} = 3 \]

     Pierwiastek \( x_1 = 3 \) jest jednym z miejsc zerowych funkcji.

   • Dla \( - \sqrt{64} \):

     \[ x_2 = \frac{4 - 8}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]

     Pierwiastek \( x_2 = -1 \) jest drugim miejscem zerowym funkcji.

   Miejsca zerowe to \( x = 3 \) i \( x = -1 \).

   Interpretacja: Oznacza to, że wykres funkcji kwadratowej przecina oś \( x \) w punktach \( x = 3 \) i \( x = -1 \). Wykres funkcji kwadratowej jest parabolą, która w tych punktach przecina oś \( x \).

Dodatek

Skoro znamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej, możemy łatwo zapisać funkcję w postaci iloczynowej. Miejsca zerowe to \( x = 3 \) i \( x = -1 \), więc funkcja kwadratowa może być wyrażona jako iloczyn dwóch czynników odpowiadających tym pierwiastkom:

\[ f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \]

Podstawiając nasze miejsca zerowe:

\[ f(x) = 2(x - 3)(x + 1) \]

Teraz możemy rozwinąć ten iloczyn, aby uzyskać funkcję w postaci ogólnej:

\[ f(x) = 2(x - 3)(x + 1) = 2(x^2 + x - 3x - 3) = 2(x^2 - 2x - 3) = 2x^2 - 4x - 6 \]

Tak więc, znajomość miejsc zerowych pozwala nam łatwo przejść od postaci kanonicznej funkcji kwadratowej do jej postaci iloczynowej, a także zweryfikować poprawność obliczeń.

2. Dopełnienie kwadratu

Inną metodą jest dopełnienie kwadratu:

1. Przekształć równanie do postaci:

   \[ ax^2 + bx = -c \]

2. Podziel obie strony przez \( a \):

   \[ x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} \]

3. Dopełnij kwadrat na lewej stronie równania:

   \[ x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a} \]

   Teraz, lewa strona równania jest kwadratem doskonałym, więc możemy zapisać:

   \[ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \]

4. Rozwiąż równanie kwadratowe uzyskane po dopełnieniu kwadratu:

   \[ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \]

   Aby znaleźć \( x \), weź pierwiastek kwadratowy z obu stron równania:

   \[ x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \]

   \[ x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

   Teraz, aby uzyskać rozwiązania dla \( x \), przekształć równanie:

   \[ x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

   \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

W ten sposób uzyskujemy miejsca zerowe funkcji kwadratowej, które są zgodne z wynikami uzyskanymi za pomocą wzoru kwadratowego.

3. Faktoryzacja

Dla niektórych funkcji kwadratowych możliwe jest rozłożenie równania na iloczyn dwumianów:

Przykład

Dla funkcji:

\[ f(x) = x^2 - 5x + 6 \]

Szukamy liczb, które sumują się do -5 i mają iloczyn równy 6. Są to -2 i -3. Dlatego:

\[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0 \]

Stąd miejsca zerowe to \( x = 2 \) i \( x = 3 \).

Właściwości miejsc zerowych

1. Ilość miejsc zerowych: Funkcja kwadratowa może mieć 0, 1 lub 2 miejsca zerowe w zależności od wartości wyróżnika \(\Delta\).

   • \(\Delta > 0\): Dwa różne miejsca zerowe.
   • \(\Delta = 0\): Jedno podwójne miejsce zerowe.
   • \(\Delta < 0\): Brak miejsc zerowych w zbiorze liczb rzeczywistych (rozwiązania zespolone).

2. Znaczenie: Miejsca zerowe funkcji kwadratowej pomagają w analizie wykresu funkcji oraz w rozwiązywaniu równań i układów równań w matematyce i naukach stosowanych.