Cheatsheet do całek
W tym arkuszu znajdziesz podstawowe i często używane wzory na całki funkcji elementarnych.
Całki podstawowych funkcji
\[ \int c \, dx = c \cdot x + C \]
\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) \]
\[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C \]
\[ \int e^x \, dx = e^x + C \]
\[ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C \quad (a > 0, a \neq 1) \]
\[ \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C \]
\[ \int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C \]
\[ \int \tan(x) \, dx = -\ln|\cos(x)| + C \]
\[ \int \cot(x) \, dx = \ln|\sin(x)| + C \]
\[ \int \sec(x) \, dx = \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C \]
\[ \int \csc(x) \, dx = -\ln|\csc(x) + \cot(x)| + C \]
Całki odwrotności funkcji trygonometrycznych
\[ \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \arcsin(x) + C \]
\[ \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \, dx = \text{arcosh}(x) + C \]
\[ \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan(x) + C \]
\[ \int \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}} \, dx = \text{arcsec}(x) + C \]
Całki funkcji hiperbolicznych
\[ \int \sinh(x) \, dx = \cosh(x) + C \]
\[ \int \cosh(x) \, dx = \sinh(x) + C \]
\[ \int \tanh(x) \, dx = \ln|\cosh(x)| + C \]
\[ \int \coth(x) \, dx = \ln|\sinh(x)| + C \]
\[ \int \text{sech}(x) \, dx = \arctan(\sinh(x)) + C \]
\[ \int \text{csch}(x) \, dx = \ln|\coth(x) + \text{csch}(x)| + C \]
Całki logarytmiczne
\[ \int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - x + C \]
\[ \int x^n \ln(x) \, dx = \frac{x^{n+1} \ln(x)}{n+1} - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + C \]
Całki z funkcjami wykładniczymi
\[ \int e^{ax} \, dx = \frac{e^{ax}}{a} + C \]
\[ \int x e^{ax} \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2}(ax - 1) + C \]
Całki przez podstawienie
\[ \int f(g(x)) g'(x) \, dx = \int f(u) \, du \quad (u = g(x)) \]
Całki przez części
\[ \int u \, dv = u v - \int v \, du \]
Całki cykliczne
\[ \int f'(x) f(x)^n \, dx = \frac{f(x)^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) \]
Powyższe wzory są podstawą do rozwiązywania wielu bardziej złożonych całek. Pamiętaj, że kluczową rolę w całkowaniu odgrywa dobór odpowiedniej metody: podstawienie, całkowanie przez części lub znajomość funkcji elementarnych.