Przesunięcie funkcji odwrotnej wzdłuż osi \( y \)

Definicja funkcji odwrotnej

Funkcja odwrotna ma postać:

\[ f(x) = \frac{a}{x} \]

gdzie \( a \) jest stałą liczbą rzeczywistą.

Przesunięcie funkcji odwrotnej wzdłuż osi \( y \)

Przesunięcie funkcji odwrotnej wzdłuż osi \( y \) polega na dodaniu lub odjęciu stałej wartości od funkcji. Funkcja przesunięta wzdłuż osi \( y \) ma postać:

\[ f(x) = \frac{a}{x} + k \]

gdzie \( k \) jest wartością, o którą funkcja jest przesunięta wzdłuż osi \( y \).

1. Własności funkcji po przesunięciu

• Dziedzina: Dziedziną funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste, z wyjątkiem \( x = 0 \), ponieważ dzielenie przez zero jest niedozwolone. Przesunięcie wzdłuż osi \( y \) nie zmienia dziedziny funkcji.

• Asymptoty:

  • Asymptota pionowa: Funkcja ma asymptotę pionową w \( x = 0 \). Przesunięcie wzdłuż osi \( y \) nie wpływa na asymptotę pionową.
  • Asymptota pozioma: Po przesunięciu funkcji wzdłuż osi \( y \) asymptota pozioma zmienia się na \( y = k \). W miarę jak \( x \) rośnie w nieskończoność lub zmierza do minus nieskończoności, wartość funkcji zbliża się do asymptoty poziomej \( y = k \).

• Wykres funkcji: Przesunięcie funkcji odwrotnej wzdłuż osi \( y \) powoduje, że wykres funkcji zostaje przesunięty o \( k \) jednostek w górę (jeśli \( k \) jest dodatnie) lub w dół (jeśli \( k \) jest ujemne). Wartość funkcji w każdej wartości \( x \) jest odpowiednio zwiększana lub zmniejszana o \( k \).

2. Przykład

Rozważmy funkcję:

\[ f(x) = \frac{4}{x} + 3 \]

1. Dziedzina: Dziedziną funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem \( x = 0 \). Funkcja nie jest zdefiniowana dla \( x = 0 \).

2. Asymptoty:

   • Asymptota pionowa: Występuje w \( x = 0 \).
   • Asymptota pozioma: Po przesunięciu funkcji, asymptota pozioma występuje w \( y = 3 \).

3. Wykres: Wykres funkcji \( f(x) = \frac{4}{x} + 3 \) jest przesunięty w górę o 3 jednostki w porównaniu do wykresu funkcji \( f(x) = \frac{4}{x} \). Funkcja zbliża się do osi \( x \) na wysokości \( y = 3 \), ale jej nie przecina.

Zastosowanie przesunięcia funkcji odwrotnej

Przesunięcia funkcji odwrotnej wzdłuż osi \( y \) są używane w matematyce i naukach ścisłych do modelowania sytuacji, w których funkcja odwrotna jest dostosowywana w celu uwzględnienia dodatkowego parametru. Może to być przydatne w analizie danych, inżynierii oraz w wielu innych dziedzinach.