Liczby wymierne i całkowite

Liczby wymierne i całkowite są podstawowymi pojęciami w matematyce, szczególnie w algebrze i teorii liczb. W tym dokumencie omówimy definicje, właściwości i przykłady tych dwóch typów liczb.

Liczby całkowite

Definicja:

Liczby całkowite to liczby, które nie mają części ułamkowej. Obejmują one liczby dodatnie, ujemne oraz zero. Zbiór liczb całkowitych oznaczamy symbolem \( \mathbb{Z} \).

\[ \mathbb{Z} = \{ \dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots \} \]

Właściwości:

  1. Liczby całkowite są zamknięte na dodawanie, odejmowanie i mnożenie. Oznacza to, że suma, różnica lub iloczyn dwóch liczb całkowitych również jest liczbą całkowitą.
  2. Dzielenie liczb całkowitych nie zawsze daje liczbę całkowitą (np. \( \frac{1}{2} \) nie jest liczbą całkowitą).
  3. Liczby całkowite mają uporządkowaną strukturę: są liczbami dyskretnymi, co oznacza, że nie ma liczb pomiędzy dwoma kolejnymi liczbami całkowitymi.

Przykłady:

Liczby wymierne

Definicja:

Liczby wymierne to liczby, które można wyrazić jako iloraz dwóch liczb całkowitych, gdzie mianownik nie jest równy zero. Zbiór liczb wymiernych oznaczamy symbolem \( \mathbb{Q} \).

\[ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} : a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0 \right\} \]

Właściwości:

  1. Liczby wymierne obejmują wszystkie liczby całkowite, ponieważ każdą liczbę całkowitą można zapisać jako \( \frac{a}{1} \), gdzie \( a \) jest liczbą całkowitą.
  2. Liczby wymierne są zamknięte na dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie (z wyjątkiem dzielenia przez zero).
  3. Liczby wymierne mogą być wyrażone jako liczby dziesiętne skończone lub okresowe.

Przykłady:

Różnice między liczbami wymiernymi a liczbami całkowitymi

  1. Zasięg: Wszystkie liczby całkowite są liczbami wymiernymi, ale nie wszystkie liczby wymierne są całkowite. Liczby całkowite to podzbiór liczb wymiernych.
  2. Przykłady: Liczby całkowite to liczby bez części ułamkowych, natomiast liczby wymierne mogą mieć część ułamkową, o ile są wyrażone jako iloraz liczb całkowitych.
  3. Zapis: Każdą liczbę całkowitą można zapisać jako liczbę wymierną (np. \( 3 = \frac{3}{1} \)), ale liczby wymierne mogą być również ułamkami niecałkowitymi (np. \( \frac{1}{2} \)).

Podsumowanie

Liczby całkowite i wymierne są fundamentalnymi pojęciami w matematyce, wykorzystywanymi zarówno w podstawowych operacjach arytmetycznych, jak i bardziej zaawansowanych koncepcjach algebry. Zrozumienie różnic między nimi jest kluczowe dla dalszego rozwoju umiejętności matematycznych.