Mnożenie macierzy

Mnożenie macierzy jest bardziej złożoną operacją niż dodawanie i odejmowanie. Aby móc pomnożyć dwie macierze, liczba kolumn w pierwszej macierzy musi być równa liczbie wierszy w drugiej macierzy.

Jeśli \(\mathbf{A}\) jest macierzą o wymiarach \(m \times n\) i \(\mathbf{B}\) jest macierzą o wymiarach \(n \times p\), to ich iloczyn \(\mathbf{C}\) będzie macierzą o wymiarach \(m \times p\). Elementy macierzy \(\mathbf{C}\) oblicza się jako iloczyn skalarny wierszy macierzy \(\mathbf{A}\) i kolumn macierzy \(\mathbf{B}\).

Jeśli

\[\mathbf{A} = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\]

i

\[\mathbf{B} = \begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} \\b_{21} & b_{22}\end{pmatrix}\]

to iloczyn \(\mathbf{C} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\) jest dany przez:

\[ \mathbf{C} = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{pmatrix} \]

gdzie

\[c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj}\]

Przykład mnożenia macierzy

Dla macierzy:

\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \]

i

\[\mathbf{B} = \begin{pmatrix}5 & 6 \\7 & 8\end{pmatrix}\]

iloczyn \(\mathbf{C} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\) to:

\[ \mathbf{C} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 & 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 & 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix} \]