Dodawanie i odejmowanie macierzy

Dodawanie macierzy

Dodawanie macierzy polega na dodawaniu odpowiadających sobie elementów dwóch macierzy. Dodawanie jest możliwe tylko wtedy, gdy obie macierze mają ten sam rozmiar (tj. tę samą liczbę wierszy i kolumn).

Jeśli mamy dwie macierze \(\mathbf{A}\) i \(\mathbf{B}\), każda o wymiarach \(m \times n\), to ich suma \(\mathbf{C}\) jest macierzą \(m \times n\) zdefiniowaną jako:

\[ \mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B} \]

gdzie

\[c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}\]

dla każdego \(i\) i \(j\).

Przykład dodawania macierzy

Dla macierzy:

\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \]

i

\[\mathbf{B} = \begin{pmatrix}5 & 6 \\7 & 8\end{pmatrix}\]

ich suma to:

\[ \mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix} \]

Odejmowanie macierzy

Odejmowanie macierzy działa na podobnej zasadzie jak dodawanie. Możemy odjąć odpowiadające sobie elementy dwóch macierzy, pod warunkiem, że mają one ten sam rozmiar.

Jeśli mamy dwie macierze \(\mathbf{A}\) i \(\mathbf{B}\), każda o wymiarach \(m \times n\), to ich różnica \(\mathbf{D}\) jest macierzą \(m \times n\) zdefiniowaną jako:

\[ \mathbf{D} = \mathbf{A} - \mathbf{B} \]

gdzie

\[d_{ij} = a_{ij} - b_{ij}\]

dla każdego \(i\) i \(j\).

Przykład odejmowania macierzy

Dla macierzy:

\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 9 & 11 \end{pmatrix} \]

i

\[\mathbf{B} = \begin{pmatrix}2 & 3 \\4 & 5\end{pmatrix}\]

ich różnica to:

\[ \mathbf{D} = \mathbf{A} - \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 5-2 & 7-3 \\ 9-4 & 11-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} \]