Twierdzenie tangensów

Twierdzenie tangensów to przydatne narzędzie w geometrii trygonometrycznej, szczególnie w analizie trójkątów. Pomaga w obliczaniu długości boków i kątów w trójkątach, w których znamy wartości tangensów kątów.

Definicja

Twierdzenie tangensów dla dowolnego trójkąta \( \triangle ABC \) mówi, że stosunek długości boków trójkąta jest równy stosunkowi tangensów półkątów leżących przy tych bokach. Można je zapisać jako:

\[ \frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan \left(\frac{A - B}{2}\right)}{\tan \left(\frac{A + B}{2}\right)} \]

Gdzie:

• \( a \), \( b \) to długości boków trójkąta,
• \( A \), \( B \) to kąty naprzeciwko tych boków.

Wzór ogólny

Twierdzenie tangensów można zapisać w postaci ogólnej:

\[ \frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan \left(\frac{A - B}{2}\right)}{\tan \left(\frac{A + B}{2}\right)} \]

Gdzie:

• \( a \), \( b \) to długości boków trójkąta naprzeciwko kątów \( A \) i \( B \),
• \( \tan \left(\frac{A - B}{2}\right) \) oraz \( \tan \left(\frac{A + B}{2}\right) \) to tangensy odpowiednich półkątów.

Przykłady

1. Przykład 1:

   Rozważmy trójkąt, w którym znamy długości boków \( a = 8 \) i \( b = 6 \), oraz kąty \( A = 30^\circ \) i \( B = 45^\circ \). Chcemy znaleźć stosunek długości boków.

   Korzystamy z wzoru:

   \[ \frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan \left(\frac{A - B}{2}\right)}{\tan \left(\frac{A + B}{2}\right)} \]

   Najpierw obliczamy tangensy:

   \[ \frac{A - B}{2} = \frac{30^\circ - 45^\circ}{2} = -7.5^\circ \] \[ \frac{A + B}{2} = \frac{30^\circ + 45^\circ}{2} = 37.5^\circ \]

   Następnie obliczamy tangensy tych kątów:

   \[ \tan (-7.5^\circ) \approx -0.1317 \] \[ \tan 37.5^\circ \approx 0.7673 \]

   Podstawiamy do wzoru:

   \[ \frac{8-6}{8+6} = \frac{-0.1317}{0.7673} \] \[ \frac{2}{14} = \frac{-0.1317}{0.7673} \] \[ 0.1429 \approx -0.1710 \]

2. Przykład 2:

   W trójkącie, gdzie znamy długości boków \( a = 10 \), \( b = 7 \), oraz kąty \( A = 60^\circ \) i \( B = 45^\circ \). Sprawdzamy, czy wzór jest spełniony.

   Korzystamy z wzoru:

   \[ \frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan \left(\frac{A - B}{2}\right)}{\tan \left(\frac{A + B}{2}\right)} \]

   Obliczamy tangensy:

   \[ \frac{A - B}{2} = \frac{60^\circ - 45^\circ}{2} = 7.5^\circ \] \[ \frac{A + B}{2} = \frac{60^\circ + 45^\circ}{2} = 52.5^\circ \]

   Tangensy tych kątów:

   \[ \tan 7.5^\circ \approx 0.1317 \] \[ \tan 52.5^\circ \approx 1.2477 \]

   Podstawiamy do wzoru:

   \[ \frac{10-7}{10+7} = \frac{0.1317}{1.2477} \] \[ \frac{3}{17} = \frac{0.1317}{1.2477} \] \[ 0.1765 \approx 0.1052 \]

Zastosowania

• Analiza trójkątów: Ustalanie stosunków boków w trójkątach.
• Geometria i trygonometria: Rozwiązywanie problemów dotyczących kątów i długości.
• Nauki przyrodnicze: Ustalanie proporcji w układach geometrycznych.

Twierdzenie tangensów jest użytecznym narzędziem w matematyce, szczególnie w analizie trójkątów, pomagającym w rozwiązywaniu problemów związanych z proporcjami boków i kątów.