Funkcja cosinus

Funkcja cosinus jest jedną z podstawowych funkcji trygonometrycznych, która opisuje zależność między bokami i kątami w trójkącie prostokątnym. Cosinus kąta to stosunek długości przyprostokątnej przylegającej do kąta do długości przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym.

Definicja

Funkcja cosinus przyjmuje kąt $\theta$ jako argument i zwraca stosunek długości przyprostokątnej przylegającej do kąta do długości przeciwprostokątnej:

$$ \cos(\theta) = \frac{\text{przyprostokątna przylegająca}}{\text{przeciwprostokątna}} $$

Na okręgu jednostkowym, cosinus kąta jest współrzędną $x$ punktu na okręgu, który odpowiada kątowi $\theta$.

Własności funkcji cosinus

Dziedzina: Funkcja cosinus jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$, czyli $x \in (-\infty, \infty)$.
Zbiór wartości: Wartości funkcji cosinus mieszczą się w przedziale od $-1$ do $1$, czyli $ \cos(x) \in [-1, 1] $.
Okresowość: Funkcja cosinus jest okresowa z okresem $2\pi$. Oznacza to, że $ \cos(x + 2\pi) = \cos(x) $ dla dowolnego $x$.
Symetria: Funkcja cosinus jest funkcją parzystą, co oznacza, że $ \cos(-x) = \cos(x) $.

Wartości funkcji cosinus dla wybranych kątów

$\cos(0^\circ) = 1$
$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$
$\cos(90^\circ) = 0$

Wykres funkcji cosinus

Wykres funkcji cosinus przypomina falę sinusoidalną, ale przesuniętą fazowo o $\frac{\pi}{2}$ (90 stopni) w lewo względem wykresu funkcji sinus. Wartości funkcji oscylują między $-1$ a $1$, a okres funkcji wynosi $2\pi$.

Równania cosinusoidalne

Podobnie jak w przypadku sinusa, funkcję cosinus można stosować w równaniach opisujących oscylacje i drgania. Przykładowe równanie cosinusoidalne ma postać:

$$ y = A \cos(Bx + C) + D $$

gdzie:

$A$ to amplituda,
$B$ to częstotliwość,
$C$ to przesunięcie fazowe,
$D$ to przesunięcie pionowe.

Zastosowania funkcji cosinus

Funkcja cosinus ma wiele praktycznych zastosowań w różnych dziedzinach nauki i techniki:

Fizyka: Opis drgań harmonicznych, szczególnie w obwodach elektrycznych i mechanicznych.
Inżynieria: Analiza sygnałów, przetwarzanie dźwięku, analiza obrazu.
Geometria: Obliczenia w trójkątach, szczególnie w geometrii analitycznej.
Astronomia: Wyznaczanie położenia ciał niebieskich na sferze niebieskiej.

Funkcja cosinus, podobnie jak funkcja sinus, odgrywa fundamentalną rolę w opisie ruchów falowych i analizie sygnałów, a także w innych dziedzinach matematyki i fizyki.