Funkcje liniowe w układzie równań

Funkcje liniowe są często używane w układach równań liniowych. Układ równań liniowych to zbiór dwóch lub więcej równań liniowych, które należy rozwiązać jednocześnie, aby znaleźć wartości zmiennych, które spełniają wszystkie równania.

Układ równań liniowych

Układ równań liniowych można zapisać w ogólnej formie jako:

\[\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1 \\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}\]

gdzie:

Metody rozwiązywania układów równań liniowych

Metoda podstawiania

  1. Rozwiąż jedno z równań względem jednej zmiennej:

\[x = \frac{c_1 - b_1y}{a_1}\]

  1. Podstaw rozwiązanie do drugiego równania i rozwiąż je względem drugiej zmiennej:

\[a_2\left(\frac{c_1 - b_1y}{a_1}\right) + b_2y = c_2\]

  1. Rozwiąż uzyskane równanie, aby znaleźć wartość drugiej zmiennej \(y\), a następnie podstaw tę wartość do wyrażenia dla \(x\), aby znaleźć pierwszą zmienną.

Metoda dodawania (eliminacji)

  1. Przemnóż jedno lub oba równania przez odpowiednie liczby, aby współczynniki jednej z zmiennych były równe (przeciwnych znaków lub takie same).

  2. Dodaj lub odejmij równania, aby wyeliminować jedną zmienną.

\[\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1 \\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}\]

Można na przykład przekształcić równania, aby uzyskać:

\[a_1x + b_1y = c_1 \\a_2x + b_2y = c_2 \\\]

i po dodaniu:

\[(a_1 + a_2)x + (b_1 + b_2)y = c_1 + c_2\]

  1. Rozwiąż uzyskane równanie względem jednej zmiennej i podstaw tę wartość do jednego z początkowych równań.

Przykład rozwiązania układu równań

Rozważmy układ równań:

\[\begin{cases}2x + 3y = 13 \\4x - y = 5\end{cases}\]

Metoda podstawiania

  1. Rozwiąż pierwsze równanie względem \(x\):

\[2x = 13 - 3y\] \[x = \frac{13 - 3y}{2}\]

  1. Podstaw do drugiego równania:

\[4\left(\frac{13 - 3y}{2}\right) - y = 5\] \[2(13 - 3y) - y = 5\] \[26 - 6y - y = 5\] \[26 - 7y = 5\] \[-7y = 5 - 26\] \[-7y = -21\] \[y = 3\]

  1. Podstaw \(y = 3\) do wyrażenia dla \(x\):

\[x = \frac{13 - 3 \cdot 3}{2}\] \[x = \frac{13 - 9}{2}\] \[x = \frac{4}{2}\] \[x = 2\]

Rozwiązanie układu to \(x = 2\) i \(y = 3\).

Graficzna metoda rozwiązywania

  1. Narysuj wykresy obu równań na jednym układzie współrzędnych.
  2. Znajdź punkt przecięcia prostych, który będzie rozwiązaniem układu równań.

Zastosowania układów równań liniowych

Układy równań liniowych są używane w wielu dziedzinach, takich jak: