Zadanie

Aby zbadać monotoniczność ciągu \( a_n = \frac{2n+1}{2n+3} \), sprawdzimy znak różnicy \( a_{n+1} - a_n \).

Krok 1: Obliczenie różnicy \( a_{n+1} - a_n \)

\[ a_{n+1} = \frac{2(n+1)+1}{2(n+1)+3} = \frac{2n+2+1}{2n+2+3} = \frac{2n+3}{2n+5} \]

Teraz obliczamy różnicę:

\[ a_{n+1} - a_n = \frac{2n+3}{2n+5} - \frac{2n+1}{2n+3} \]

Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

\[ \frac{(2n+3)(2n+3) - (2n+1)(2n+5)}{(2n+5)(2n+3)} \]

Obliczamy licznik:

\[ (2n+3)^2 - (2n+1)(2n+5) \]

\[ 4n^2 + 12n + 9 - (4n^2 + 12n + 5) \]

\[ 4n^2 + 12n + 9 - 4n^2 - 12n - 5 = 4 \]

Licznik jest dodatni niezaleźnie od \( n \), więc znak róźnicy zależy od mianownika:

\[ (2n+5)(2n+3) > 0 \]

dla każdego \( n \geq 1 \).

Wniosek

Ponieważ \( a_{n+1} - a_n > 0 \), ciąg \( a_n \) jest ściśle rosnący dla \( n \geq 1 \).