Równania z wartością bezwzględną

Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej \( x \), oznaczana jako \( |x| \), jest definiowana jako:

\[ |x| = \begin{cases} x & \text{jeśli } x \geq 0 \\ -x & \text{jeśli } x < 0 \end{cases} \]

Wartość bezwzględna liczby \( x \) jest zawsze nieujemna i przedstawia odległość liczby \( x \) od zera na osi liczbowej.

Równania z wartością bezwzględną

Równania z wartością bezwzględną mają postać:

\[ |f(x)| = g(x) \]

gdzie \( f(x) \) i \( g(x) \) są funkcjami. Aby rozwiązać takie równanie, należy rozważyć dwie przypadki:

  1. Przypadek 1: \( f(x) = g(x) \)
  2. Przypadek 2: \( f(x) = -g(x) \)

Rozwiązywanie równania wymaga rozwiązania obu przypadków i znalezienia wspólnych rozwiązań.

Przykład

Rozważmy równanie:

\[ |2x - 3| = 5 \]

Aby rozwiązać to równanie, rozważamy dwa przypadki:

Przypadek 1: \( 2x - 3 = 5 \)

Rozwiązujemy równanie:

\[ 2x - 3 = 5 \] \[ 2x = 5 + 3 \] \[ 2x = 8 \] \[ x = 4 \]

Przypadek 2: \( 2x - 3 = -5 \)

Rozwiązujemy równanie:

\[ 2x - 3 = -5 \] \[ 2x = -5 + 3 \] \[ 2x = -2 \] \[ x = -1 \]

Rozwiązanie

Oba przypadki dają nam rozwiązania:

\[ x = 4 \quad \text{i} \quad x = -1 \]

Zatem rozwiązaniem równania \( |2x - 3| = 5 \) są liczby \( x = 4 \) i \( x = -1 \).

Własności równań z wartością bezwzględną

Przykłady zastosowania