Macierze

Definicja macierzy

Macierz jest prostokątną tabelą liczb, symboli lub wyrażeń, uporządkowaną w wiersze i kolumny. Jest używana do przedstawiania układów równań, przekształceń liniowych, a także w różnych dziedzinach matematyki i nauk stosowanych. Każdy element macierzy jest zidentyfikowany przez swój wiersz i kolumnę.

Notacja macierzy

Macierze są zazwyczaj zapisywane w nawiasach kwadratowych lub okrągłych, z elementami oddzielonymi przecinkami i wierszami oddzielonymi nowymi liniami. Notacja macierzy często używa pogrubionych liter lub liter z dachem:

• \(\mathbf{A}\): pogrubiona litera reprezentująca macierz
• \(\vec{A}\): litera z dachem, używana rzadziej do oznaczania macierzy

Macierz o \(m\) wierszach i \(n\) kolumnach zapisujemy jako \(\mathbf{A}_{m \times n}\), gdzie \(m\) to liczba wierszy, a \(n\) to liczba kolumn.

Przykład macierzy

Dla macierzy o 2 wierszach i 3 kolumnach zapisujemy ją jako:

\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \]

gdzie \(a_{ij}\) to element w \(i\)-tym wierszu i \(j\)-tej kolumnie macierzy.

Macierze prostokątne

Macierz prostokątna to macierz, która ma różną liczbę wierszy i kolumn. Może mieć dowolną liczbę wierszy i kolumn, ale nie jest kwadratowa. Macierz prostokątna o \(m\) wierszach i \(n\) kolumnach zapisujemy jako \(\mathbf{A}_{m \times n}\).

Przykład macierzy prostokątnej

Dla macierzy o 3 wierszach i 2 kolumnach:

\[ \mathbf{B} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \end{pmatrix} \]

Macierze kwadratowe

Macierz kwadratowa to macierz, w której liczba wierszy jest równa liczbie kolumn. Macierz kwadratowa o \(n\) wierszach i \(n\) kolumnach nazywana jest macierzą \(n \times n\). W szczególności, macierze kwadratowe mają interesujące właściwości, takie jak wyznacznik czy macierz odwrotna, które są definiowane tylko dla macierzy kwadratowych.

Przykład macierzy kwadratowej

Dla macierzy o 2 wierszach i 2 kolumnach (macierz \(2 \times 2\)):

\[ \mathbf{C} = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{pmatrix} \]

Macierze kwadratowe mogą mieć różne rozmiary, np. macierz \(3 \times 3\):

\[ \mathbf{D} = \begin{pmatrix} d_{11} & d_{12} & d_{13} \\ d_{21} & d_{22} & d_{23} \\ d_{31} & d_{32} & d_{33} \end{pmatrix} \]

Zastosowanie macierzy

Macierze są szeroko stosowane w różnych dziedzinach matematyki, w tym w algebrze liniowej, analizie numerycznej, teorii grafów oraz w zastosowaniach praktycznych, takich jak grafika komputerowa, mechanika, robotyka i inżynieria. Służą do reprezentowania układów równań, przekształceń liniowych i różnych obliczeń matematycznych.