K-means

Czym jest K-means?

K-means to popularny algorytm grupowania, który dzieli dane na \(k\) klastrów na podstawie podobieństwa między punktami. Algorytm iteracyjnie przypisuje punkty do najbliższego centroidu (środka klastra) i aktualizuje położenie centroidów, aż do osiągnięcia stabilności.

Kluczowe pojęcia:

1. Centroid:

   • Punkt reprezentujący środek klastra. Jest obliczany jako średnia wszystkich punktów w klastrze.

2. Klastry:

   • Grupy punktów, które są bardziej podobne do swojego centroidu niż do innych centroidów.

3. Liczba klastrów (\(k\)):

   • Liczba grup, na które dane mają zostać podzielone. Wartość \(k\) musi być określona przed uruchomieniem algorytmu.

4. Funkcja celu:

   • Algorytm dąży do minimalizacji sumy kwadratów odległości punktów od ich centroidów: \[ J = \sum_{i=1}^{k} \sum_{x \in C_i} ||x - \mu_i||^2 \] Gdzie \(C_i\) to klaster \(i\), \(x\) to punkt w klastrze, a \(\mu_i\) to centroid klastra \(i\).

Jak działa K-means?

1. Inicjalizacja:

   • Wybór \(k\) początkowych centroidów (np. losowo lub przy użyciu metody K-means++).

2. Przypisanie punktów do klastrów:

   • Każdy punkt danych jest przypisywany do najbliższego centroidu na podstawie wybranej miary odległości (np. odległości euklidesowej).

3. Aktualizacja centroidów:

   • Dla każdego klastra obliczany jest nowy centroid jako średnia wszystkich punktów w tym klastrze.

4. Sprawdzenie zbieżności:

   • Proces powtarza się, aż centroidy przestaną się zmieniać lub osiągnięty zostanie maksymalny liczba iteracji.

Zalety K-means:

• Szybkość:
  • Algorytm jest efektywny obliczeniowo i dobrze radzi sobie z dużymi zbiorami danych.
• Łatwość implementacji:
  • Prosty do zaimplementowania i zrozumienia.
• Elastyczność:
  • Może być stosowany do szerokiego zakresu danych numerycznych.

Wady K-means:

• Wymaga określenia \(k\):
  • Liczba klastrów musi być znana z góry, co może być trudne w praktyce.
• Wrażliwość na początkowe centroidy:
  • Wyniki mogą zależeć od wyboru początkowych centroidów, co czasem prowadzi do lokalnych minimów.
• Wrażliwość na szum i wartości odstające:
  • Punkty odstające mogą znacznie przesunąć centroidy.
• Założenie o kulistych klastrach:
  • Algorytm najlepiej radzi sobie z klastrami o podobnej wielkości i kształcie, co może być ograniczeniem w przypadku bardziej skomplikowanych danych.

Zastosowania:

1. Segmentacja klientów:
   • Grupowanie klientów na podstawie ich zachowań zakupowych lub cech demograficznych.
2. Przetwarzanie obrazu:
   • Kompresja obrazu przez redukcję liczby kolorów (grupowanie pikseli o podobnych wartościach).
3. Bioinformatyka:
   • Grupowanie danych genetycznych w celu identyfikacji podobnych wzorców.
4. Analiza dokumentów:
   • Grupowanie tekstów na podstawie podobieństw treści.

Przykład działania:

Załóżmy, że mamy zbiór punktów w 2D:

• Punkty: \((1, 1), (2, 1), (4, 3), (5, 4)\)
• Liczba klastrów (\(k\)): 2.

Kroki:

1. Inicjalizacja:

   • Losowy wybór początkowych centroidów, np. \((1, 1)\) i \((5, 4)\).

2. Przypisanie punktów do klastrów:

   • Punkt \((1, 1)\) jest bliższy centroidowi \((1, 1)\), a punkt \((5, 4)\) jest bliższy centroidowi \((5, 4)\).

3. Aktualizacja centroidów:

   • Obliczane są nowe centroidy na podstawie średnich punktów w każdym klastrze, np. \((1.5, 1)\) i \((4.5, 3.5)\).

4. Powtarzanie iteracji:

   • Proces jest kontynuowany, aż centroidy przestaną się zmieniać.

Wynikiem jest podział punktów na dwa klastry, które najlepiej reprezentują dane.

K-means to jedno z najprostszych i najczęściej używanych narzędzi grupowania, szczególnie w zastosowaniach wymagających szybkiego i efektywnego podziału danych.