Znalezienie funkcji liniowej, na której leży punkt \( P(x_p, y_p) \)

Jeżeli mamy punkt \( P(x_p, y_p) \), to możemy wyznaczyć funkcję liniową, której wykres przechodzi przez ten punkt. Funkcja liniowa ma postać ogólną:

\[ f(x) = ax + b \]

Aby znaleźć współczynniki \( a \) i \( b \), musimy mieć dodatkowe informacje, takie jak nachylenie prostej (współczynnik \( a \)) lub drugi punkt na prostej. Poniżej omówimy różne przypadki.

Znalezienie funkcji liniowej przechodzącej przez punkt i mającej określone nachylenie

Jeżeli znamy nachylenie \( a \) prostej oraz punkt \( P(x_p, y_p) \), to możemy wyznaczyć wyraz wolny \( b \), podstawiając dane do równania funkcji.

1. Podstawiamy punkt \( P(x_p, y_p) \) do równania \( y = ax + b \):

\[ y_p = a \cdot x_p + b \]

2. Rozwiązujemy równanie względem \( b \):

\[ b = y_p - a \cdot x_p \]

Ostatecznie, funkcja liniowa przechodząca przez punkt \( P(x_p, y_p) \) i mająca współczynnik \( a \) to:

\[ f(x) = ax + (y_p - a \cdot x_p) \]

Przykład 1

Dany jest punkt \( P(2, 3) \) oraz współczynnik \( a = 1 \). Znajdźmy funkcję liniową.

1. Podstawiamy do wzoru:

\[ 3 = 1 \cdot 2 + b \]

2. Obliczamy \( b \):

\[ b = 3 - 2 = 1 \]

Zatem funkcja liniowa to:

\[ f(x) = x + 1 \]

Znalezienie funkcji liniowej przechodzącej przez dwa punkty

Jeżeli znamy dwa punkty \( P_1(x_1, y_1) \) oraz \( P_2(x_2, y_2) \), możemy wyznaczyć zarówno współczynnik kierunkowy \( a \), jak i wyraz wolny \( b \).

1. Znajdujemy współczynnik kierunkowy \( a \):

\[ a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

2. Podstawiamy jeden z punktów (np. \( P_1 \)) do równania \( y = ax + b \) i obliczamy \( b \):

\[ y_1 = a \cdot x_1 + b \] \[ b = y_1 - a \cdot x_1 \]

Ostatecznie, funkcja liniowa to:

\[ f(x) = ax + (y_1 - a \cdot x_1) \]

Przykład 2

Dane są punkty \( P_1(1, 2) \) oraz \( P_2(3, 6) \). Znajdźmy funkcję liniową.

1. Obliczamy \( a \):

\[ a = \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2 \]

2. Podstawiamy punkt \( P_1(1, 2) \), aby obliczyć \( b \):

\[ 2 = 2 \cdot 1 + b \] \[ b = 2 - 2 = 0 \]

Zatem funkcja liniowa to:

\[ f(x) = 2x \]

Interpretacja geometryczna

Funkcja liniowa \( f(x) = ax + b \) opisuje prostą, której nachylenie zależy od współczynnika \( a \). Punkt \( P(x_p, y_p) \) znajduje się na tej prostej, ponieważ spełnia równanie \( f(x_p) = y_p \).

Zastosowania znajdowania funkcji liniowej

Znajdowanie funkcji liniowej na podstawie punktów znajduje szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach, takich jak:

• Fizyka: Opis zależności między dwoma zmiennymi, np. prędkością i czasem.
• Ekonomia: Modelowanie kosztów w zależności od produkcji.

Wykres funkcji liniowej przechodzącej przez punkt

Aby narysować wykres funkcji liniowej, wystarczy znać współczynnik kierunkowy \( a \) oraz jeden punkt \( P(x_p, y_p) \). Po wyznaczeniu \( b \), możemy narysować prostą, która przechodzi przez dany punkt.

Dla przykładu, funkcja \( f(x) = x + 1 \) przechodzi przez punkt \( P(2, 3) \) i ma nachylenie \( a = 1 \). Możemy znaleźć drugi punkt na wykresie, np. dla \( x = 0 \):

\[ f(0) = 0 + 1 = 1 \]

Punkty \( (0, 1) \) i \( (2, 3) \) leżą na wykresie, a prosta przechodzi przez te dwa punkty.