Przykład: Obliczanie liczby losów na loterii

Treść zadania

Na pewnej loterii jest 5 losów wygrywających. Kupujemy 1 los. Ile powinno być wszystkich losów na tej loterii, aby prawdopodobieństwo tego, że kupimy los wygrywający, było większe od \( 0{,}2 \)?

Rozwiązanie

Krok 1: Zrozumienie problemu

• Liczba losów wygrywających: 5
• Liczba wszystkich losów: \( n \) (nieznana, szukamy jej wartości)
• Prawdopodobieństwo wygranej: chcemy, aby było większe niż \( 0{,}2 \)

Krok 2: Zastosowanie prawdopodobieństwa klasycznego

W prawdopodobieństwie klasycznym, jeśli każdy los ma jednakową szansę bycia wybranym, prawdopodobieństwo wygranej wynosi: \[ P(\text{wygrana}) = \frac{\text{liczba losów wygrywających}}{\text{liczba wszystkich losów}} = \frac{5}{n} \]

Krok 3: Ustawienie nierówności

Chcemy, aby prawdopodobieństwo wygranej było większe od \( 0{,}2 \): \[ \frac{5}{n} > 0{,}2 \]

Krok 4: Rozwiązanie nierówności

Przekształćmy nierówność, aby znaleźć \( n \):

1. Zamieniamy \( 0{,}2 \) na ułamek: \[ 0{,}2 = \frac{1}{5} \] Teraz nierówność wygląda tak: \[ \frac{5}{n} > \frac{1}{5} \]

2. Mnożymy obie strony nierówności przez \( n \) (zakładając, że \( n > 0 \)): \[ 5 > \frac{n}{5} \]

3. Mnożymy obie strony przez 5: \[ 25 > n \] Czyli: \[ n < 25 \]

Krok 5: Interpretacja wyniku

• Liczba wszystkich losów \( n \) musi być mniejsza niż 25.
• Ponieważ liczba losów to liczba naturalna i musi być co najmniej 5 (bo mamy 5 losów wygrywających), możliwe wartości \( n \) to liczby całkowite od 5 do 24.

Krok 6: Sprawdzenie minimalnej wartości \( n \)

Sprawdźmy dla \( n = 24 \) i \( n = 25 \):

• Dla \( n = 24 \): \[ P(\text{wygrana}) = \frac{5}{24} \approx 0{,}2083 > 0{,}2 \]
• Dla \( n = 25 \): \[ P(\text{wygrana}) = \frac{5}{25} = 0{,}2 \]

Ponieważ szukamy prawdopodobieństwa większego niż \( 0{,}2 \), to \( n \) musi być mniejsze niż 25. Zatem największa możliwa liczba losów to 24.

Odpowiedź

Aby prawdopodobieństwo wygranej było większe od \( 0{,}2 \), liczba wszystkich losów na loterii powinna być mniejsza niż 25, czyli wynosić maksymalnie 24.

---

Wyjaśnienie krok po kroku

• Dlaczego zamieniliśmy \( 0{,}2 \) na \( \frac{1}{5} \)?

  Ułatwia to obliczenia z ułamkami i pomaga uniknąć błędów zaokrągleń.

• Dlaczego mnożymy przez \( n \) i potem przez 5?

  Chcemy wyznaczyć \( n \), więc pozbywamy się mianowników, aby uprościć nierówność.

• Dlaczego \( n \) musi być liczbą całkowitą?

  Liczba losów na loterii musi być liczbą naturalną (całkowitą dodatnią), bo nie możemy mieć ułamka losu.

Podsumowanie

Wykorzystując definicję prawdopodobieństwa klasycznego, ustawiliśmy nierówność i rozwiązaliśmy ją względem \( n \). Ostatecznie stwierdziliśmy, że liczba wszystkich losów na loterii musi być mniejsza niż 25, aby prawdopodobieństwo wygranej przy zakupie jednego losu było większe niż \( 0{,}2 \).